Quay lại giao diện cũ
Đề thi học kì II - Phòng GD Tây Hồ - Hà Nội (2021)
Cho các biểu thức $\mathrm{A}=\frac{2}{\sqrt{x}+1}$ và $\mathrm{B}=\frac{1}{x+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}+1}$ với $\mathrm{x}>0$
a) Tính giá trị của biểu thức A khi $\mathrm{x}=81$.
b) Rút gọn biểu thức $\mathrm{P}=\mathrm{B}: \mathrm{A}$.
c) So sánh $P$ với $\frac{1}{2}$.
Hướng dẫn giải
a)Thay $x=81(\mathrm{tm} \mathrm{d} \mathrm{k})$ vào biều thức $\mathrm{A}$, ta được $\mathrm{A}=\frac{2}{\sqrt{81}+1}=\frac{2}{9+1}=\frac{1}{5}$
Vậy $x=81$ thì $\mathrm{A}=\frac{1}{5}$
b) $B=\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$
$B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$
$B=\frac{1}{\sqrt{x}}$
$P=\frac{1}{\sqrt{x}} \div \frac{2}{\sqrt{x}+1}$
$P=\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{2}$
$P=\frac{\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}}$
c) Ta có $P-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}}-\frac{1}{2}=\ldots=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
Ta có $x>0$ nên $\frac{1}{2 \sqrt{x}}>0 \Rightarrow P-\frac{1}{2}>0 \Rightarrow P>\frac{1}{2}$
Giải bài toán bằng cách phuơng trình hoc hệ phương trình:
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3 và tổng các bình phương của hai chữ số là 45 .
Hướng dẫn giải
Gọi số cần tìm là $\overline{x y}\left(x \in \mathbb{N}^{*}, x \leq 9 ; y \in \mathbb{N}, x \leq 9\right)$
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3 , ta có $x-y=3 \Leftrightarrow x=y+3(1)$
Vì tồng các bình phương của hai hai chữ số là 45, ta có $x^{2}+y^{2}=45$
(2) Thay (1) vào (2), ta có phương trình $(y+3)^{2}+y^{2}=45$
$\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow y^{2}+3 y-18=0$
Giải phương trình ta được $y=-6$ (loại) hoặc $y=3$ (chọn) Với $y=3$, ta có $y=3+3=6$ (thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là 63.
Một hộp sữa hình trụ có thề tích là $16\pi\left(\mathrm{cm}^{3}\right)$. Biết rằng đường kính đáy và độ dài trục của hình trụ bằng nhau. Tính diện tích vật liệu cần dùng để làm vỏ hộp sữa, bỏ qua diện tích phần ghép nối.
Hướng dẫn giải
Thể tích của hộp sữa $\mathrm{V}=\pi \mathrm{r}^{2}$.h Mà $\mathrm{h}=2 \mathrm{r} \Rightarrow \mathrm{V}=2 \pi \mathrm{r}^{3} \Rightarrow 16 \pi=2 \pi \mathrm{r}^{3} \Rightarrow \mathrm{r}=2 \mathrm{~cm} \Rightarrow \mathrm{h}=4 \mathrm{~cm}$.
Diện tích vật liệu đề tạo nên vỏ hộp sữa là $\mathrm{S}_{\mathrm{tp}}=\mathrm{S}_{\mathrm{xq}}+2 \cdot \mathrm{S}_{\mathrm{a}}=2 \pi \mathrm{rh}+2 \pi \mathrm{r}^{2}=2 \pi \mathrm{r}(\mathrm{h}+\mathrm{r})=\ldots=24 $.
Giài hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}-\frac{1}{2 y-1}=0 \\ 2 \sqrt{x-1}+\frac{1}{2 y-1}=3\end{array}\right.$
Hướng dẫn giải
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}-\frac{1}{2 y-1}=0 \\ \end{array} \quad(1)\left(\right.\right.$ ĐKXĐ $\left.: x \geq 1, y \neq \frac{1}{2}\right)$
$2 \sqrt{x-1}+\frac{1}{2 y-1}=3$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}=a(a \geq 0) \\ \frac{1}{2 y-1}=b(b \neq 0)\end{array}\right.$, ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}a-b=0 \\ 2 a+b=3\end{array}\right.$ (2)
Giải hệ phương trình (2), ta được $\left\{\begin{array}{l}a=1(t m) \\ b=1(t m)\end{array}\right.$ Với $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=1\end{array}\right.$, ta có $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}=1 \\ \frac{1}{2 y-1}=1\end{array} \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2(t m) \\ y=1(t m)\end{array}\right.\right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x ;y)=(2 ; 1)$.
Cho phương trình $x^{2}-(2m-1) x-5=0(1)(\mathrm{m}$ là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị của $m$ để phương trình (1) hai nghiệm nguyên.
Hướng dẫn giải
Ta có $\Delta=\ldots=(2 \mathrm{~m}-1)^{2}+20$
Vì $(2 m-1)^{2} \geq 0$ với $\forall m \Rightarrow(2 m-1)^{2}+20>0$ với $\forall m$
$\Rightarrow \Delta>0$ với $\forall \mathrm{m} \Rightarrow$ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Luu $y$ : HS nhận xét dấu của a và c để chứng minh GV cho điểm tương đương. Theo hệ thức Vi - ét, ta có $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=2 m-1 \\ x_{1} x_{2}=-5\end{array}\right.$
Ta có $\left\{\begin{array}{l}x_{1} x_{2}=-5 \\ x_{1} ; x_{2} \in \mathbb{Z}\end{array} \Rightarrow x_{1} ; x_{2} \in\{\pm 1 ; \pm 5\}\right.$
Lập bảng giá trị
Vậy $m \in\{-1,5 ; 2,5\}$ thỏa mãn đề bài.
Cho (O) với dây $\mathrm{AB}$ cố định (AB không qua $\mathrm{O}$ ). Đường kính $\mathrm{CD}$ vuông góc với $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{H}$ (C thuộc cung lớn $\mathrm{AB}$ ). Điểm $\mathrm{M}$ di chuyển trên cung nhỏ $\mathrm{AC}(\mathrm{M} \neq \mathrm{A}$ và $\mathrm{M} \neq \mathrm{C})$. Đường thẳng $\mathrm{CM}$ cắt đường thẳng $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{N}$. Nối $\mathrm{MD}$ cắt $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{E}$.
a) Chứng minh tứ giác CMEH nội tiếp.
b) Chứng minh $\mathrm{NM} \cdot \mathrm{NC}=$ NA.NB.
c) Lấy điểm $\mathrm{P}$ đối xứng với $\mathrm{A}$ qua $\mathrm{O}$. Gọi I là trung điểm của $\mathrm{MC}$. Kẻ $\mathrm{IK}$ vuông góc với đường thẳng $\mathrm{AM}$ tại $\mathrm{K}$. Chứng minh $\mathrm{IK} / / \mathrm{MP}$ và điểm $\mathrm{K}$ thuộc một đường tròn cố định.
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh $\widehat{C M E}=90^{\circ}$
b) Chứng minh tứ giác AMCB nội tiếp $\Rightarrow$ Chứng minh $\widehat{N M A}=\widehat{N B C}$
Chứng minh $\triangle \mathrm{NMA} \backsim \triangle \mathrm{NBC}(\mathrm{gg})$
Chứng minh NM. $\mathrm{NC}=\mathrm{NA} . \mathrm{NB}(\mathrm{đpcm})$
c) Chứng minh $\mathrm{AP}$ là đường kính của (O).
Chứng minh MP $\perp$ AM.
Chứng minh IK // MP.
Gọi $\mathrm{IK}$ cắt $\mathrm{CP}$ tại $\mathrm{F}$. Chứng minh $\mathrm{F}$ là trung điểm của CP Vì $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ cố định $\Rightarrow \mathrm{P}, \mathrm{F}$ cố định.
Mà $\widehat{AKF}=90^{\circ} \Rightarrow \mathrm{K}$ thuộc đường tròn đường kính $\mathrm{AF}$ cố định.
Cho hai số thực a, b thỏa mãn: $\left(a+\sqrt{a^{2}+9}\right)\left(b+\sqrt{b^{2}+9}\right)=9$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=2 a^{4}-b^{4}+6 \mathrm{ab}+8 a^{2}-10 a-2 b+2026$.
Hướng dẫn giải
Ta có $\left(a+\sqrt{a^{2}+9}\right)\left(b+\sqrt{b^{2}+9}\right)=9$ (đề bài)
Mà $\left(a+\sqrt{a^{2}+9}\right)\left(\sqrt{a^{2}+9}-a\right)=9$ và $\left(\sqrt{b^{2}+9}-b\right)\left(b+\sqrt{b^{2}+9}\right)=9$
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a+\sqrt{a^{2}+9}=\sqrt{b^{2}+9}-b \\ b+\sqrt{b^{2}+9}=\sqrt{a^{2}+9}-a\end{array} \Rightarrow \ldots \Rightarrow a=-b\right.$
$\Rightarrow M=2 a^{4}-a^{4}-6 a^{2}+8 a^{2}-10 a+2 a+2026$
$\Rightarrow M=a^{4}+2 a^{2}-8 a+2026$
$\Rightarrow M=a^{4}-2 a^{2}+1+4 a^{2}-8 a+4+2021$
$\Rightarrow M=\left(a^{2}-1\right)^{2}+(2 a-2)^{2}+2021$
$\Rightarrow M \geq 2021$
Dấu "=" xảy ra khi $a=1, \mathrm{~b}=-1$.
Vậy MinM $=2021$ khi $a=1, b=-1$