Quay lại giao diện cũ
Đề số 5 (thời gian: 90 phút)
(2,5 điểm)
1) Giải các phương trình sau:
a) \(3x^2-6x=0\);
b) \(x^2-4=0\);
c) \(x^2+6x-7=0\).
2) Giải hệ phương trình:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x+y=3.\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}x-5y=-7\\2x+7y=3.\end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn giải
1) a) \(3x^2-6x=0\Leftrightarrow3x\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2.\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{0;2\right\}\).
b) \(x^2-4=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2.\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{-2;2\right\}\).
c) \(x^2+6x-7=0\Leftrightarrow x^2+7x-x-7=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+7\right)-\left(x+7\right)=0\Leftrightarrow\left(x+7\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+7=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-7\\x=1.\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{-7;1\right\}\).
2) a) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=4\\y=x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1.\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\).
b) \(\left\{{}\begin{matrix}x-5y=-7\\2x+7y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-10y=-14\\2x+7y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-17y=-17\\x=-7+5y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=-7+5y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1.\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(\left(x;y\right)=\left(-2;1\right)\).
(2,0 điểm) Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\) (1), (\(m\) là tham số).
a) Giải phương trình với \(m=2\).
b) Tìm \(m\) để phương trình (1) có $2$ nghiệm.
Hướng dẫn giải
a) Thay $m=2$ vào phương trình (1) ta được:
\(x^2-6x+8=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=4\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(m=2\) tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{2;4\right\}\).
b) Phương trình (1) có $2$ nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta'\ge0\).
\(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-\left(m^2+4\right)=2m-3\)
\(\Delta'\ge0\Rightarrow2m-3\ge0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{3}{2}\).
Vậy với \(m\ge\dfrac{3}{2}\) thì thỏa mãn ycbt.
(1,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau \(\dfrac{24}{5}\) giờ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước vòi I chảy bằng \(\dfrac{3}{2}\) lượng nước chảy được của vòi II. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể?
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là $x$, $y$ (giờ) ($x,y>0$).
Trong $1$ giờ, vòi I, vòi II chảy được lần lượt số phần bể là: \(\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y}\) (bể).
Vì hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau \(\dfrac{24}{5}\) giờ đầy bể nên ta có phương trình
\(\dfrac{24}{5}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}\). (1)
Vì mỗi giờ lượng nước vòi I chảy bằng \(\dfrac{3}{2}\) lượng nước chảy được của vòi II nên ta có phương trình
\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{y}=0\). (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{y}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{8}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=12\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)
Vậy thời gian để vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là $8$ giờ, $12$ giờ.
(4,0 điểm) Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ và cát tuyến $ADE$ tới đường tròn đó ($B$, $C$ là tiếp điểm; $D$ nằm giữa $A$ và $E$). Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$.
a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp.
b) Chứng minh $AH.AO= AD.AE$.
c) Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn $(O)$ cắt $AB$, $AC$ theo thứ tự tại $I$ và $K$. Qua điểm $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OA$ cắt $AB$ tại $P$ và cắt $AC$ tại $Q$. Chứng minh $IP+KQ \ge PQ$.
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp.
Ta có $\widehat{ABO} = \widehat{ACO} =90^\circ$ do đó $B$, $C$ cùng nhìn $AO$ dưới góc $90^\circ$ nên $B$, $C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$.
Vậy tứ giác $ABOC$ nội tiếp.
b) Chứng minh $AH.AO= AD.AE$.
Tam giác $ABC$ có $AO$ là tia phân giác nên đồng thời cũng là đường cao suy ra $AO \bot BC$ tại $H$.
Xét tam giác $ABO$ vuông tại $B$ đường cao $BH$:
$AH.AO=AB^2$ (hệ thức trong tam giác vuông)
Có $\triangle ABD \backsim \triangle AEB$ (g.g)
suy ra \(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Leftrightarrow AD.AE=AB^2\).
Suy ra $AH.AO=AD.AE$.
c) Chứng minh $IP+KQ \ge PQ$.
Tam giác $APQ$ cân tại $A$ nên $\widehat{APQ} = \widehat{AQP}$.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $\widehat{OIB} = \widehat{OID}$, $\widehat{OKD} =\widehat{OKC}$.
Xét tứ giác $PQKI$ có:
$\widehat{IPQ} +\widehat{PQK} +\widehat{QKI}+\widehat{KIP} =360^\circ$
$\Leftrightarrow 2\widehat{IPQ} +2\widehat{OIB} +2\widehat{OKC} =360^\circ$
$\Leftrightarrow \widehat{IPQ} +\widehat{OIB} +\widehat{OKC} =180^\circ$
mà $\widehat{IPQ} +\widehat{OIB} +\widehat{IOP} =180^\circ$
suy ra $\widehat{OKC} =\widehat{IOP}$.
Từ đó suy ra $\triangle IOP \backsim \triangle OKQ$ (g.g)
suy ra \(\dfrac{IP}{OQ}=\dfrac{OP}{KQ}\Leftrightarrow IP.KQ=OP.OQ=\dfrac{PQ^2}{4}\).
Lại có \(\left(IP+KQ\right)^2\ge4.IP.KQ=PQ^2\Rightarrow IP+KQ\ge PQ\).