Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{AC'}$ theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ được kết quả là

Cho tứ diện $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có đỉnh $A$ trùng với gốc toạ độ $O$, điểm $B\left(1;0;0 \right)$, $D\left(0;\,1;\,0 \right)$, $D'\left(0;\,1;\,-1 \right)$.

 Toạ độ vectơ $\overrightarrow{B'D'}$ tương ứng là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;\,2;\,3)$, $B(-2;\,-4;\,9)$. Điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $MA=2MB.$ Độ dài đoạn thẳng $OM$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;1-\sqrt{2};2+\sqrt{5})$. Tọa độ điểm $M'\in (Oxz)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM'$ ngắn nhất là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;2)$. Tọa độ điểm $A'\in (Oxy)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AA'$ ngắn nhất là

Căn lều gỗ được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O'A'B'$ với hệ trục toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị đo lấy theo centimét).

Hai điểm $A'$ và $B'$ có tọa độ lần lượt là $(240;\,450;\,0 )$ và $(120;\,450;\,300)$. Mỗi căn lều gỗ có chiều dài là $a$ cm, chiều rộng là $b$ cm, mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là $c$ cm. Giá trị $a+b+c$ là

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^\circ$. Số đo góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ bằng

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ trong không gian được tính bằng

Trong không gian $Oxyz$, gọi $\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j},\,\overrightarrow{k}$ là các vectơ đơn vị. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$ và

$\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$, vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho các điểm $A(1 ; 2 ; 3) ; B(-1 ; 2 ; 1) ; C(3 ;-1 ;-2)$. Tích vô hướng $\overline{A B}. \overline{A C}$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(2;\,1;\,-3)$, $B(0;\,-2;\,5)$ và $C(1;\,1;\,3)$. Tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là

Trong không gian, cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $AD$ và $BC$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM=3MD$ và $BN=3NC$. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $BC$.

Một vật nặng $O$ được kéo từ ba hướng như hình vẽ và chịu tác dụng của ba lực $\overrightarrow{F_1},\,\overrightarrow{F_2},\,\overrightarrow{F_3}$, có độ lớn lần lượt là $24$ N, $12$ N, $6$ N. Biết góc tạo bởi hai lực $\overrightarrow{F_1},\,\overrightarrow{F_2}$ là $120^\circ$ và lực thứ ba vuông góc với hai lực đầu tiên.

Trong đó điểm $D$ là đỉnh của hình bình hành $OBDA$ và $E$ là đỉnh của hình bình hành $OCED$.

Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,\,OB,\,OC$ đôi một vuông góc và $OA=OB=OC=a$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,\,OC$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=( 1;2;-1),\overrightarrow{b}=( 3;-1;0),\overrightarrow{c}=( 1;-5;2)$.