Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (7 điểm)
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức $A=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}.$
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức $ A.$
b) Rút gọn biểu thức $A$.
c) Tìm giá trị của $x$ để $A=2.$
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là: ${{x}^{2}}-4\ne 0;\,\,x-2\ne 0$ và $x+2\ne 0$
Mà ${{x}^{2}}-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$
Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x-2\ne 0$ và $x+2\ne 0$ hay $x\ne 2$ và $x \ne -2$.
b) Với điều kiện xác định $x\ne 2$ và $x \ne -2$ ta có:
$A=\dfrac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}$
$=\dfrac{2{{x}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}-\dfrac{x\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}-\dfrac{2\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}$
$=\dfrac{2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-2x-2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}$
$=\dfrac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}$
$=\dfrac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}$
$=\dfrac{x-2}{x+2}.$
c) Với $x\ne 2,$ và $x \ne -2$ để $A=2$ thì $\dfrac{x-2}{x+2}=2$
Suy ra $x-2=2\left( x+2 \right)$
Do đó $x-2=2x+4$ hay $x=-6$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy $x=-6.$
Bài 2. (1 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ${{x}^{2}}-2x+1-{{y}^{2}}$;
b) ${{x}^{2}}-8x+12$.
Hướng dẫn giải
a) ${{x}^{2}}-2x+1-{{y}^{2}}$
$=\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)-{{y}^{2}}$
$={{\left( x-1 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}$
$=\left( x-1-y \right)\left( x-1+y \right).$
b) ${{x}^{2}}-8x+12$
$={{x}^{2}}-2x-6x+12$
$=\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\left( 6x-12 \right)$
$=x\left( x-2 \right)-6\left( x-2 \right)$
$=\left( x-2 \right)\left( x-6 \right).$
Bài 3. (1,0 điểm) Từ một khúc gỗ hình lập phương cạnh $30$ cm. Người ta cắt đi một phần gỗ để được phần còn lại là một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh $30$ cm và chiều cao của hình chóp cũng bằng $30$ cm. Tính thể tích của phần gỗ bị cắt đi.
Hướng dẫn giải
Thể tích khúc gỗ hình lập phương là: ${{30}^{3}}=27 \, 000$ (cm3).
Thể tích của phần gỗ còn lại hình chóp tứ giác đều là: $\dfrac{1}{3}{{.30}^{2}}.30=9 \, 000$ (cm3).
Thể tích của khối gỗ bị cắt đi là: $27 \, 000-9 \, 000=18 \, 000$ (cm3).
Bài 4. (1 điểm)
Trong một khách sạn có hai bể bơi dạng hình hộp chữ nhật. Bể thứ nhất có chiều sâu là $1,2$ m và đáy bể có chiều dài $x$ mét, chiều rộng $y$ mét. Bể thứ hai có chiều sâu là $1,5$ m, hai kích thước đáy gấp $5$ lần hai kích thước đáy tương ứng của bể thứ nhất.
a) Viết đa thức (hai biến $x$ và $y$) biểu thị số mét khối nước cần có để bơm đầy cả hai bể bơi trên (ban đầu bể không chứa nước)?
b) Tính lượng nước cần dùng để bơm đầy hai bể nếu $x=4$ m, $y=3$ m. (ghi kết quả dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
a) Số mét khối nước cần có để bơm đầy bể bơi thứ nhất:
$1,2 x y$ (m$^3$)
Số mét khối nước cần có để bơm đầy bể bơi thứ hai:
$1,5. 5 x . 5 y=37,5 x y$ (m$^3$)
Số mét khối nước cần có để bơm đầy cả hai bể bơi:
$1,2 x y+37,5 x y=38,7 x y$ (m$^3$).
b) Lượng nước bơm đầy hai bể nếu $x=4$ m, $y=3$ m là:
$38,7.4 . 3=464,4$ (m$^3$).
Bài 5. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = 5 + 2xy + 14y - x^2 - 5y^2 - 2x$.
Hướng dẫn giải
$ A=5+2xy+14y-{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}-2x$
$=-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1-2xy-2y+2x \right)-\left( 4{{y}^{2}}-12y+9 \right)+15 $
$=-{{\left( x-y+1 \right)}^{2}}-{{\left( 2y-3 \right)}^{2}}+15\le 15$
Suy ra giá trị lớn nhất của $A=15$ khi và chỉ khi:
$ x-y=-1$ và $2y-3=0$
Suy ra $x=\dfrac{1}{2}$ và $y=\dfrac{3}{2} $.