Trong không gian $Oxyz$, gọi $A'$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A\left(1;2;3 \right)$ trên mặt phẳng $\left(Oyz \right)$ thì tọa độ $\overrightarrow{AA'}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=(-1 ; 1 ; 3)$ và $\overrightarrow{v}=(-2 ; 1 ;-3)$. Giá trị của $|2 \overrightarrow{u}-3 \overrightarrow{v}|$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A' B' C' D'$ có đỉnh $A'$ trùng với gốc $O$ và các đỉnh $D' ,B' ,A$ lần lượt thuộc các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ như hình vẽ. Giả sử đỉnh $C$ có toạ độ là $(2;3;4)$ đối với hệ toạ độ $Oxyz$. Khi đó toạ độ điểm $B$ là

Môt chiếc khinh khí cầu bay lên từ địa điểm cho trước. Sau khoảng thời gian bay, chiếc khinh khí cầu cách địa điểm xuất phát $2,5$ km về hướng nam và $1,7$ km về hướng đông, đồng thời cách mặt đất là $0,6$ km. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo ki-lô-mét.

Khoảng cách từ địa điểm xuất phát đến địa điểm hiện tại của khinh khí cầu gần nhất với giá trị nào sau đây là 

Cho hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$ khác $\overrightarrow{0}$ có cùng độ dài bằng $a$ ($a > 0$) và ngược hướng nhau. Tích vô hướng $\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M(3;2;8 )$, $N(0;1;3 )$ và $P(2;m;4 )$. Giá trị dưới đây của $m$ thỏa mãn tam giác $MNP$ vuông tại $N$?

Trong không gian $Oxyz$cho ba điểm $A(1;\,1;\,1 )$, $B(5;\,-1;\,2 )$, $C(3;\,2;\,-4 )$. Tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, với $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$, khi đó $\cos \varphi$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có đỉnh $A$ trùng với gốc toạ độ $O$, điểm $B\left(1;0;0 \right)$, $D\left(0;1;0 \right)$, ${D}'\left(0;\,1;\,1 \right)$. Toạ độ vectơ $\overrightarrow{CA'}$ tương ứng là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(-2;3;3)$. Điểm $D( a;\,b;\,c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$, khi đó $P=a^2+b^2-c^2$ có giá trị bằng

Một nhà kho gồm nền nhà $O A B C$, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật gắn trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow{a}=(2;-3;3 )$, $\overrightarrow{b}=(0;2;-1 )$, $\overrightarrow{c}=(3;-1;5 )$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2;-1;0)$ và $B(1;1;-3)$.