Quay lại giao diện cũ
Đề số 1 (Phần tự luận 7 điểm)
Bài 1. (2 điểm)
1. Cho đa thức $P=2{{x}^{2}}y-3x+8{{y}^{2}}-1$
a) Xác định bậc, các hạng tử của đa thức $P$;
b) Tính giá trị của đa thức $P$ tại $x=-1; \, y=\dfrac{1}{2}$.
2. Cho hai đa thức $P=5x{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}+2y-1$ và $Q=-x{{y}^{2}}+9{{x}^{2}}y-2y+6$. Tính $P+Q$ và $P-Q$.
Hướng dẫn giải
1.
a) Bậc của đa thức $P$ là $3$
Đa thức $P$ có $4$ hạng tử là $2{{x}^{2}}y$; $-3x$; $8{{y}^{2}};$ $-1$
b) Thay $x=-1; \, y=\dfrac{1}{2}$ vào đa thức $P$ ta có:
$P=2.{{(-1)}^{2}}.\dfrac{1}{2}-3.(-1)+8.{{\Big( \dfrac{1}{2} \Big)}^{2}}-1$
$ =2.1.\dfrac{1}{2}+3+8.\dfrac{1}{4}-1 $
$=1+3+2-1 =5$.
Vậy $P=5$ tại $x=-1; \, y=\dfrac{1}{2}$.
2. $P=5x{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}+2y-1$ và $Q=-x{{y}^{2}}+9{{x}^{2}}y-2y+6$
$P+Q=(5x{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}+2y-1)+(-x{{y}^{2}}+9{{x}^{2}}y-2y+6)$
$=5x{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}+2y-1-x{{y}^{2}}+9{{x}^{2}}y-2y+6$
$=(5x{{y}^{2}}-x{{y}^{2}})-3{{x}^{2}}+(2y-2y)+(-1+6)+9{{x}^{2}}y $
$=4x{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}+5+9{{x}^{2}}y $.
$P-Q=(5x{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}+2y-1)-(-x{{y}^{2}}+9{{x}^{2}}y-2y+6) $
$=5x{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}+2y-1+x{{y}^{2}}-9{{x}^{2}}y+2y-6 $
$=(5x{{y}^{2}}+x{{y}^{2}})-3{{x}^{2}}+(2y+2y)+(-1-6)-9{{x}^{2}}y $
$=6x{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}+4y-7-9{{x}^{2}}y$.
Bài 2. (1 điểm) Tính:
a) $\left( x-2y \right)\left( 3xy+6{{x}^{2}}+x \right) $;
b) $\left( 18{{x}^{4}}{{y}^{3}}-24{{x}^{3}}{{y}^{4}}+12{{x}^{3}}{{y}^{3}} \right) \, : \, \left( -6{{x}^{2}}{{y}^{3}} \right)$.
Hướng dẫn giải
a) $\left( x-2y \right)\left( 3xy+6{{x}^{2}}+x \right)$
$=3{{x}^{2}}y-6x{{y}^{2}}+6{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}y+{{x}^{2}}-2xy$
$=-9{{x}^{2}}y-6x{{y}^{2}}+6{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2xy$
b) $\left( 18{{x}^{4}}{{y}^{3}}-24{{x}^{3}}{{y}^{4}}+12{{x}^{3}}{{y}^{3}} \right) \, : \, \left( -6{{x}^{2}}{{y}^{3}} \right) $
$=-3{{x}^{2}}+4xy-2x$.
Bài 3. (3 điểm) Cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $I$, $K$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AD$.
a) Chứng minh tứ giác $AICD$ là hình thang vuông.
b) Chứng minh $AICK$ là hình bình hành.
c) Chứng minh ba đường thẳng $AC$, $BD$, $IK$ cùng đi qua một điểm.
Hướng dẫn giải
a) Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật (GT)
Suy ra $AD$ // $IC$ (hai cạnh đối) nên tứ giác $AICD$ là hình thang.
Mà $\widehat{ADC}={{90}^{\circ}}$ (góc của hình chữ nhật)
Do đó tứ giác $AICD$ là hình thang vuông.
b) Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD$ // $BC, \, AD = BC$.
Mà $I$, $K$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AD$.
Suy ra $ AK$ // $IC$ và $AK = IC$.
Tứ giác $AICK$ có $AK$ // $IC$ và $AK = IC$ nên tứ giác $AICK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
c) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Suy ra $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ (1) (tính chất đường chéo hình chữ nhật)
Tứ giác $AICK$ là hình bình hành (chứng minh trên).
Suy ra $AC$ cắt $IK$ tại trung điểm của $AC $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $O$ là trung điểm của $AC$, $IK$ và $BD$.
Hay ba đường thẳng $AC$, $BD$, $IK$ cùng đi qua điểm $O$.
Bài 4. (1 điểm) Tại một hồ trong công viên nước, một con cá heo nhảy lên khỏi mặt nước với vận tốc ban đầu của cú nhảy là $20$ ft/giây, trong đó $1$ ft $=30,48$ cm.
Độ cao $h$ (ft) của cá heo so với mặt nước sau thời gian $t$ giây kể từ lúc nhảy được tính bởi công thức $h=20 t-16 t^2$.
a) Phân tích công thức tính $h$ trên thành dạng tích của các đa thức.
b) Tính độ cao (cm) của cá heo so với mặt nước sau $0,5$ giây kể từ lúc nhảy. Làm tròn kết quả tới hàng đơn vị.
Hướng dẫn giải
a) Ta có $h=20 t-16 t^2 = 4t(5 - 4t)$.
b) Với $t = 0,5 $ thì $4t = 2$ vào biểu thức trên ta được:
$h = 2(5 - 2) = 6$ (ft) $= 6.30,48 = 183$ (cm).