1) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\Big(\dfrac{-16}{23}+\dfrac{7}{15}\Big):\dfrac{2\,025}{2\,026}+\Big(\dfrac{-7}{23}+\dfrac{8}{15}\Big):\dfrac{2\,025}{2\,026}$.

b) $B=\dfrac{(-27)^{4}\cdot 5^{8}+(-3)^{9}\cdot 125^{3}}{3^{10}\cdot 25^{4}+6\cdot 15^{9}}+\sqrt{(-3)^{2}}+\dfrac{3}{2}\cdot \Big|\dfrac{-1}{3}\Big|$.

2) Cho biểu thức $C=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^{2}}-\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{4}}-\dfrac{1}{3^{5}}+\dots +\dfrac{1}{3^{100}}.$

Tính giá trị của biểu thức $D=4\vert{}C\vert{}+\dfrac{1}{3^{100}}$.

1) Cho đa thức bậc hai $P(x)=ax^{2}+bx+c$ ($x$ là ẩn; $a, b, c$ là hệ số).

a) Tìm đa thức $P(x)$ biết rằng $P(0)=3;$ $P(-1)=2;$ $P(1)=6$.

b) Cho đa thức $Q(x)=-4x^{3}+1$. Tìm đa thức $R(x)$, biết rằng: $P(x)\cdot Q(x)-R(x)=-8x^{4}-24x^{3}+x^{2}+3$ với mọi $x$.

2) Ba thửa ruộng hình chữ nhật A, B, C có cùng diện tích.

Chiều rộng của các thửa ruộng A, B, C lần lượt tỉ lệ nghịch với $3,\, 5$ và $6$. Biết rằng chiều dài của thửa ruộng A kém chiều dài của thửa ruộng C là $18$ m. Tính chiều dài của mỗi thửa ruộng.

1) Tìm số hữu tỉ $x\ge0$ để biểu thức $K=\dfrac{\sqrt{x}+10}{\sqrt{x}+3}$ nhận giá trị nguyên.

2) Cho 3 số tự nhiên $a, b$ và $c$ đều khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $a^{2}+b^{2}+2\,025c^{2}\,\, \vdots \,\, 2$. Chứng minh rằng số $a+b+c$ là một hợp số.

3) Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $\dfrac{6}{(x-1)^{4}+2}=\vert{}y-1\vert{}+\vert{}y-2\vert{}+\vert{}y-3\vert{}+1.$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $D, E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $CA$. Trên tia đối của tia $DA$ lấy điểm $F$ sao cho $DA=DF$. Đoạn thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $K$.

1) Chứng minh $AC=BF$ và $BF\perp AB$.

2) Chứng minh rằng $BK=2KC$.

3) Chứng minh rằng $DE$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BF$.

4) Giả sử $AB=AC$. Qua điểm $C$, kẻ đường thẳng vuông góc với $AK$ và cắt $AK$ tại $G$. Tính số đo góc $DGC$.

1) Cho $2\,026$ số nguyên dương $a_{1}, a_{2}, a_{3},\dots ,a_{2\,026}$ thỏa mãn: $\dfrac{1}{a_{1}^{2}}+\dfrac{1}{a_{2}^{2}}+\dfrac{1}{a_{3}^{2}}+\dots +\dfrac{1}{a_{2\,026}^{2}}=\dfrac{4\,051}{2\,026}$. Chứng minh rằng trong $2\,026$ số đã cho tồn tại ít nhất $2$ số bằng nhau.

2) Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}$. Tính giá trị biểu thức: $P=\dfrac{1}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}-\Big(\dfrac{1}{x^{n}}+\dfrac{1}{y^{n}}+\dfrac{1}{z^{n}}\Big)+2\,025$, với $n$ là một số tự nhiên lẻ.