Thực hiện các phép tính sau (tính hợp lí nếu có thể):

Cho $M = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + \dots + 5^{2\,024} + 5^{2\,025}$ và $N = 5^{2\,026}$. Chứng minh rằng $M \lt \dfrac{N}{4}$.

Tìm số nguyên $x$, biết:

Hai lớp 6A và 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có $1$ bạn thu được $14$ kg, còn lại mỗi bạn thu được $11$ kg. Lớp 6B có $1$ bạn thu được $15$ kg, còn lại mỗi bạn thu được $12$ kg. Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số lượng giấy mỗi lớp thu được trong khoảng $480$ kg đến $550$ kg.

Chứng minh rằng: Nếu $p$ và $p + 2$ là hai số nguyên tố lớn hơn $3$ thì tổng của chúng chia hết cho $12$.

Cho phân số: $A = \dfrac{10x + 9}{5x + 4}$ ($x \in \mathbb{N}$). Với giá trị nào của $x$ thì phân số $A$ có giá trị lớn nhất?

Tìm hai số tự nhiên $a, \, b$ biết $a - b = 84$, ƯCLN$(a; \, b) = 14$ và $a, \, b \lt 185$.

Cho $\widehat{mOn}$, trên tia $Om$ lấy điểm $A$ sao cho $OA = 4,5$ cm, trên tia đối của tia $Om$ lấy điểm $B$ sao cho $OB = 2$ cm.