Chứng minh rằng $(a+1)^2 \leq 2 a+2$, biết $a^2 \leq 1$.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&2 x-y-2=0 \\ & 3 x^2-x y-8=0\\ \end{aligned}\right.$.

Hai bất phương trình $3 x-5>6-x$ và $21-3 x \geq 4 x-7$ có bao nhiêu nghiệm nguyên chung?

Thầy Trí mua hai mặt hàng là Xe máy và Tủ lạnh phải trả tổng cộng là $43,4$ triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) là $8\%$ đối với Xe máy và $10\%$ đối với Tủ lạnh. Nếu thuế VAT là $9\%$ cho cả hai mặt hàng thì thầy phải trả tổng cộng $43,6$ triệu đồng. Nếu không kể thuế VAT thì thầy Trí phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi mặt hàng?

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc $40$ km/h. Lúc về (vẫn trên quãng đường lúc đầu), ô tô chỉ đi với vận tốc $35$ km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là $45$ phút. Tính độ dài quãng đường AB.

Cho $a \lt b$. Chứng minh rằng $- 2a - 5 > - 2b - 5$.

Cho hai biểu thức $M=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$ và $N=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-4}{1-x}$ với $x\ge 0, \, x\ne 1$.

a) Tính giá trị của biểu thức $M$ khi $x=8+2\sqrt{7}$.

b) Biết $P=\dfrac{M}{N}$. Chứng minh $P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$.

c) Tìm giá trị $x$ là số nguyên tố thoả mãn $P\le \dfrac{1}{2}$.

Trong các hệ thống máy, một dây curoa bao quanh 2 bánh quay là hai đường tròn có tâm $O_1$ bán kính $40$ cm và tâm $O_2$ bán kính $10$ cm như hình dưới đây. Gọi $A$, $D$ là các điểm trên $(O_1)$ và $B$, $C$ là các điểm trên $(O_2)$ sao cho $AB$ và $CD$ tiếp xúc với đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ và chúng cắt nhau tại $M$ tạo thành góc $\widehat{BMC} = 60^\circ$.

a) Tính số đo cung lớn $\overset\frown{AD}$ của đường tròn $(O_1)$.

b) Tính độ dài dây curoa.

Chứng minh đẳng thức $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2.$

Tại một thời điểm, các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc $\widehat{BCA}=57^\circ$ và cột đèn AB thẳng đứng có bóng trên mặt đất là đoạn thẳng $AC=4,5$ m (xem hình vẽ). Tính chiều cao $AB$ của cột đèn đó (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của mét).

Cho $(O)$ là đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. Qua $A$ vẽ tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$, trên tia $Ax$ lấy điểm ${M}, \, ({M}$ khác A$)$, từ $M$ vẽ tiếp tuyến $MC$ của $(O), \, ({C}$ là tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AC$. Đường thẳng $MB$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ nằm giữa $M$ và $B$).