Quay lại giao diện cũ
Đề kiểm tra số 3
1) (1 điểm) Bảng thống kê cho biết số lượt mượn các loại sách trong một tuần tại thư viện một trường THCS:
| Loại sách | Sách giáo khoa | Truyện ngắn | Sách tham khảo | Tiểu thuyết |
| Số lượt | $15$ | $20$ | $35$ | $30$ |
a) Tính tổng số lượt sách trong tuần của thư viện đó.
b) Tính tần số tương đối số lượt mượn sách tham khảo.
2) (1 điểm) Một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm tám phần bằng nhau và ghi các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa . Xét phép thử "Quay đĩa tròn một lần" và biến cố M: " Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số nguyên tố". Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố M và tính xác suất của biến cố M.
Hướng dẫn giải
1) a) Tổng số lượt sách trong tuần của thư viện đó: $15 + 35 + 30 + 20 = 100$ ( lượt)
b) Tần số tương đối số lượt mượn "sách tham khảo" là: $\dfrac{35}{100} = 35 \%$
2) Ta thấy các kết quả phép thử là đồng khả năng.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố M là hình quạt ghi số 2, số 3, số 5, số 7
Xác suất của biến cố M là: $\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$.
(2,5 điểm) Cho biểu thức $A=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{3-11\sqrt{x}}{9-x}$ và $B=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$ với $x \ge 0, \, x \ne 9$.
a) Tính giá trị của biểu thức $B$ tại $x=36$.
b) Rút gọn $A$.
c) Biết $P = A.B$. Tìm $x$ để $P=\dfrac{1}{2}$.
Hướng dẫn giải
a) Thay $x=36$ ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $B$, ta được
$B=\dfrac{\sqrt{36}-3}{\sqrt{36}+1}=\dfrac{3}{7}$
b) Với $x \ge 0, \, x \ne 9$ ta có
$A=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{3-11\sqrt{x}}{9-x}$
$=\dfrac{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-3 \right)+\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)+11\sqrt{x}-3}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)} $
$=\dfrac{3x+9\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)} $
$=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$
c) Ta có $P=A. B=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}. \dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$
Để $P=\dfrac{1}{2}$ thì $\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{2} $
$6\sqrt{x}=\sqrt{x}+1 $
$5\sqrt{x}=1 $
$\sqrt{x}=\dfrac{1}{5}$
$x=\dfrac{1}{25}$ (thỏa mãn)
Vậy $x=\dfrac{1}{25}$ thì $P=\dfrac{1}{2}$.
(1,5 điểm) Quãng đường $AB$ dài $180$ km. Một xe máy khởi hành từ $A$ đến $B$ với vận tốc không đổi. Sau đó $24$ phút một ô tô cũng khởi hành từ $A$ nhưng đi với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là $5$ km/h nên đã đến $B$ cùng lúc với xe máy. Tính vận tốc của xe máy.
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc của xe máy là $x$ (km/h), ($x>0$)
Thời gian xe máy đi hết quãng đường $AB$ là: $\dfrac{180}{x}$ (h)
Vận tốc ô tô là: $x+5$ (km/h)
Thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là: $\dfrac{180}{x+5}$ (h)
Vì ô tô xuất phát sau xe máy $24$ phút $=\dfrac{2}{5}$ h nhưng vẫn đến $B$ cùng lúc nên ta có
$\dfrac{180}{x}-\dfrac{180}{x+5}=\dfrac{2}{5}$
Giải được $x=45$ (thỏa mãn), $x=-50$ (không thỏa mãn)
Vậy vận tốc xe máy là $45$ km/h.
(2 điểm) Cho đường tròn $( O;R )$ và đường kính $AB$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $C$ khác điểm $A$. Từ điểm $C$ kẻ các tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $M$ và $N$. Qua $C$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt đường thẳng $BM$ tại $I$.
a) Chứng minh bốn điểm $A, \, M, \, I, \, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh $CI^2=CA.CB$.
Hướng dẫn giải
a) Xét $\Delta MAB$ có: $MO$ là trung tuyến và $MO=OB=OA=\dfrac{1}{2}AB$ nên $\Delta MAB$ vuông tại $M$.
Gọi $G$ là trung điểm của $IA$.
Chứng minh được $GI=GM=GA=GC$ nên bốn điểm $A, \, M, \, I, \, C$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $IA$. '
b) Chứng minh được $\widehat{CIA}=\widehat{CBI}=\left( \widehat{CMA} \right)$
Xét $\Delta CIA$ và $\Delta CIB$ có:
$\widehat{ICA}$ chung;
$\widehat{CIA}=\widehat{CBI}$
Vậy $\Delta CIA \backsim \Delta CBI$ (g.g)
Suy ra $CI^2=CA.CB$.
(1 điểm) Cho phương trình: $x^2-2mx+m^2-m-1=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $x_1(x_1+2)+x_2(x_2+2)=10$.
Hướng dẫn giải
Phương trình $x^2-2mx+m^2-m-1=0$
Có $\Delta' = (-m)^2-1.(m^2-m-1)=m^2-m^2+m+1=m+1$
Phương trình có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ khi $\Delta' \ge 0$
$m+1 \ge 0$
$m \ge -1$
Áp dụng hệ thức Vietè ta có:
$x_1+x_2=2m$ và $x_1x_2=m^2-m-1$
Ta có: $x_1( x_1+2 )+x_2( x_2+2 )=10$
$x_{1}^{2}+2x_1+x_{2}^{2}+2x_2=10$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_1+2x_2=10$
$( x_1+x_2 )^2-2x_1x_2+2( x_1+x_2 )=10$
$(2m)^2-2(m^2-m-1)+2.2m=10$
$4m^2-2m^2+2m+2+4m-10=0$
$2m^2+6m-8=0$
$m^2+3m-4=0$
Ta có: $a+b+c=1+3+(-4)=0$ nên phương trình có hai nghiệm: $m_1=1$ (thỏa mãn) và $m_2=-4$ (không thỏa mãn).
Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.
(1 điểm) Một khu đất có dạng nửa hình tròn với bán kính $14$ m. Người ta muốn xây dựng một khu vui chơi hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn (hình vẽ).
Biết rằng một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của nửa đường tròn. Tính diện tích lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng?
Hướng dẫn giải
Ta gọi tên các đỉnh của hình chữ nhật như hình vẽ sau:
Đặt $AB=x$ (m) với $x>0.$
Do nửa đường tròn bán kính bằng $14$ m nên $OA=OD=14$ m.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $OAB$ có:
$OA^2=BA^2+BO^2$
$14^2=x^2+BO^2$
$BO=\sqrt{196-x^2}$
Do đó $BC=2BO=2\sqrt{196-x^2}.$
Nên diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: $2x\sqrt{196-x^2}.$
Với hai số $a, \, b$ ta có: $(a-b)^2 \ge 0.$
Do đó $a^2+b^2 \ge 2ab.$
Áp dụng bất đẳng thức trên với hai số dương $x$ và $\sqrt{196-x^2}$ ta có:
$2x\sqrt{196-x^2} \le x^2+( \sqrt{196-x^2})^2=196$
Dấu bằng xảy ra khi $x=\sqrt{196-x^2}$ hay $x=7\sqrt{2}.$
Nên diện tích lớn nhất của khu vui chơi hình chữ nhật là $196$ m2.