Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Gọi $x$ là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị: dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là: $C(x)={{x}^{2}}+27$ (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là: $T(x)=x+3$ (giờ).

Xưởng muốn xác định kích thước $x$ để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Tìm giá trị của $x$.

Trả lời:

Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất $8\,000$ quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất $30$ bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là $200$ nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng mỗi giờ. Công ty cần sử dụng bao nhiêu máy móc để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất?

Trả lời:

Trong một cuộc diễn tập phòng không, một bệ phóng tên lửa phòng không được đặt tại vị trí $O(0;0;0 )$ (Trong không gian $Oxyz$ với đơn vị trên các hệ trục tọa độ tính theo ki- lô-mét) có tầm bắn tối đa là $50$ km và tên lửa được phóng ra với vận tốc không đổi là $500$ m/s. Một máy bay không người lái bay theo một đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;-4;0 )$ với vận tốc không đổi là $900$ km/h. Khi phát hiện máy bay không người lái ở vị trí $A(-44;16;24 )$ thì tên lửa rời bệ phóng, khai hoả và đã bắn hạ được mục tiêu. Khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người lái bị bắn hạ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? (Giả sử cả máy bay không người lái và tên lửa đều bay theo đường thẳng và không chịu tác động của trọng lực hay lực cản không khí).

Trả lời:

Một phòng khách có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $8$ m, chiều rộng $6$ m, chiều cao $3$ m. Một chiếc đèn thả được treo trên trần nhà của phòng khách. Xét hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với một góc phòng và mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sàn nhà, đơn vị đo được lấy theo mét. Biết đèn có chiều dài là $85$ cm, đèn cách đường thẳng đi qua điểm chính giữa trần nhà và vuông góc với mặt sàn nhà $20$ cm. Hình chiếu của điểm thấp nhất xuống sàn nhà nằm trên đường chéo của sàn nhà có tọa độ $(a;b;c)$. Khi đó giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hoá bằng hàm số $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ với $a, b, c$ là các hệ số. Trong đó, $x \,(0 \leq x \leq 9, x \in \mathbb{N})$ là số tháng kể từ đầu năm học và $f(x)$ là điểm trong tháng thứ $x$. Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt $19$ điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức điểm thấp nhất trong năm học, là $3$ điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.

Trả lời:

Người ta muốn làm một cái bể dạng hình hộp chữ nhật không nắp (như hình vẽ) có thể tích bằng $1$ m$^3$. Chiều cao của bể là $5$dm, các kích thước khác là $x$ m, $y$ m với $x>0$ và $y>0$. Diện tích toàn phần của bể (không kể nắp) là hàm số $S(x)$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $S(x)$ là đường thẳng $y=ax+b$. Tính $P=a^2+b^2$.

Trả lời: