Cho biết hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f'\left(x \right)$ và có một nguyên hàm là $F(x)$. Nguyên hàm $I=\displaystyle \int{\left[ 2f(x)+f'\left(x \right)+1 \right]}\mathrm{d}x$ bằng

Cho $F(x )$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x )$. Khi đó hiệu số $F(0 )-F(1 )$ bằng

Tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\sqrt{x^2-2x+1}\mathrm{d}x$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=x^3+11x-6,\,y=6x^2$ và hai đường thẳng $x=0,\,x=2$ là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxy$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): \, 3x+2y-z+1=0$ và $(\alpha'): \, 3x+2y-z-1=0$. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\alpha')$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $( P ): mx+(m-1) y+z-10=0$ và mặt phẳng $(Q): 2 x+y-2 z+3=0$. Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì $( P )$ và $( Q )$ vuông góc với nhau?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P ):2y-z+3=0$ và điểm $A(2;0;0 )$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$, vuông góc với $(P )$, cách gốc tọa độ $O$ một khoảng bằng $\dfrac{4}{3}$ và cắt các tia $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm $B$, $C$ khác $O$. Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng

Khoảng cách từ điểm $M(2 ; -5 ; 0)$ đến mặt phẳng $(P):\,x-2y-2z-3=0$ bằng

Trên khoảng $(-\infty ;-2 )$, họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ là

Họ nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\cos 2x$ với hằng số $C$ là

Tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{2\,018} \mathrm{e}^x\mathrm{d}x$ bằng

Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc $v(t)=160-10t$ (m/s). Quãng đường $S$ mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm $t=0$ (s) đến thời điểm vật dừng lại là

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $60$m, chiều rộng $20$m. Người ta muốn trồng cỏ ở hai đầu của mảnh đất và được giới hạn bởi hai đường Parabol có đỉnh cách nhau $40$m (như hình vẽ dưới):

Trong hệ trục tọa độ cho các điểm $M(0;\,2;\,0 ),\,N(0;\,0;\,-1 ),\,P(-1;\,0;\,3 )$.