Cho biết hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f'\left(x \right)$ và có một nguyên hàm là $F(x)$. Nguyên hàm $I=\displaystyle \int{\left[ 2f(x)+f'\left(x \right)+1 \right]}\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ và $f(a)=-2,f(b)=-4$. Giá trị của $\displaystyle \int _{a}^{b}{f}'(x)\mathrm{d}x$ bằng

Tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{2x\mathrm{d}x}$ bằng

Gọi tam giác cong $OAB$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=2x^2$, $y=3-x$, $y=0$. Diện tích của tam giác cong $OAB$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha ):7x-3y+mz-3=0$ và $(\beta ): x-3y+4z+5=0$. Giá trị của $m$ để hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ vuông góc với nhau là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(\,1\,;\,0\,;6 )$ và mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $x+2y+2z-1=0.$ Phương trình mặt phẳng $(\beta )$ đi qua điểm $M$ và song song với mặt phẳng $(\alpha )$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P ):2y-z+3=0$ và điểm $A(2;0;0 )$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$, vuông góc với $(P )$, cách gốc tọa độ $O$ một khoảng bằng $\dfrac{4}{3}$ và cắt các tia $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm $B$, $C$ khác $O$. Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$. Bán kính $r$ của mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha): \, 2x-2y-z+3=0$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $y=x^2-3x+\dfrac 1x$ là

Cho hàm số $f(x)=x+\cos x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Giá trị của $\displaystyle \int\limits_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x$ là

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t )=4t$ (m/s). Đi được $6$ (s), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $-12$ (m/s²). Quãng đường $S$ (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $60$m, chiều rộng $20$m. Người ta muốn trồng cỏ ở hai đầu của mảnh đất và được giới hạn bởi hai đường Parabol có đỉnh cách nhau $40$m (như hình vẽ dưới):

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P ):2x-y+z-1=0$.