Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có một nguyên hàm trên khoảng $K$ là $F(x)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hằng số $C$ và hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = f(x).$ Nguyên hàm $I=\displaystyle \int \left[ 2f(x)+1 \right]\mathrm{d}x$ là

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=(\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^x)^2$ thỏa mãn điều kiện $F(0)=1$ là

Diện tích $S$ của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $O x$ và các đường thẳng $x=a,\, x=b \, (a\lt b)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;-1;5 )$, $B(1;-2;3 )$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua hai điểm $A$,$B$ và song song với trục $Ox$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;a;b )$. Khi đó tỉ số $\dfrac{a}{b}$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $OBDC.HEFG$ có các điểm $O(0;0;0),\,B(0;2;0),\,C(3;0;0),\,H(0;0;4)$. Mặt phẳng $(HBC)$ có phương trình là $ax+by+cz-12=0$. Khi đó giá trị biểu thức $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, hai mặt phẳng $(P)$: $x+2y-2z+3=0$ và $(Q)$: $-x-2y+2z-12=0$ lần lượt chứa hai mặt bên của một hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là

Họ nguyên hàm của hàm số $y=x^2-3x+\dfrac 1x$ là

Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho elip $(E)$ có phương trình $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$. Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là

Biết $f(x )$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, $a$ là số thực thỏa mãn $0\lt a\lt \pi$ và $\displaystyle\int_{0}^{a}{f(x )\mathrm{d}x}=\displaystyle\int_{a}^{\pi }{f(x )\mathrm{d}x}=1$. Giá trị của $\displaystyle\int_{0}^{\pi }{f(x )\mathrm{d}x}$ bằng

Cho $\displaystyle \int \limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} \cos 4x\cos x \mathrm{d}x = \dfrac{\sqrt{2}}{a}+\dfrac{b}{c}$ với $a,\,b,\,c$ là các số nguyên, $c\lt 0$ và $\dfrac{b}{c}$ tối giản. Tổng $a+b+c$ bằng

Cho hàm số $y=f(x )$ liên tục, luôn dương trên $[ 0;3]$ và thỏa mãn $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x )\mathrm{d}x=4$. Khi đó giá trị của tích phân $K=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}{(\mathrm{e}^{1+\ln (f(x ))}+4 )\mathrm{d}x}$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f'(x)=6x+\sin x, \, \forall x\in \mathbb{R}$. $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=3$.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đồ thị các hàm số $y=f(x )=2x^2$, $y=-2x+4$, parabol $y^2=4x$ và hình phẳng $(S )$ được tô màu như hình vẽ bên dưới.

Cho các điểm $A(1;-2;0 );\,B(2;-1;1 );\,C(1;1;2 )$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;0 )$, $B(1;0;2 )$, $C(2;1;3 )$ và mặt phẳng $(P ):x-y+2z+7=0$.