Nếu hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K,$ với mỗi hằng số $C.$ Xét các mệnh đề:

(i) $G(x)=F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K.$

(ii) $G(x)=C.F(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K.$

(iii) $G(x)=F(x)-C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K.$

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $F(x )=\dfrac{x^{100}}{100}$ là nguyên hàm của hàm số $f(x )$. Giá trị của $f(-1 )$ là

Hàm số $F(x)$ nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số $f(x )=x(3x+2 )$, biết $F(0 )=1$?

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a$, $x=b$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;-1;5 )$, $B(1;-2;3 )$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua hai điểm $A$,$B$ và song song với trục $Ox$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;a;b )$. Khi đó tỉ số $\dfrac{a}{b}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $A(2;-3;1)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $I(2;-1;-2 )$ đến mặt phẳng $(P ):4x-3y-m=0$ bằng $2$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^2}$ với $x \ne 0$ là

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bới đường cong $y=\sqrt{2-\sin x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$, $x=\dfrac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo ra khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ là $a\pi^2 +b\pi$; với $a, \, b \in \mathbb{Z}$. Giá trị của $a-b$ là

Cho $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x )\mathrm{d}x=-1$ và $\displaystyle\int\limits_{2}^{5}f(x )\mathrm{d}x=3$. Tính $\displaystyle\int\limits_{0}^{5}f(x )\mathrm{d}x$.

Tích phân $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}(1+\sin x)\mathrm{d}x$ với $a\lt b$ có giá trị là

$\displaystyle \int\limits_0^1 \dfrac{3^{x-2}}{2^{2x}} \mathrm{d}x$ có giá trị bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần mười).

Hàm số $f(x )=a.\mathrm{e}^{2x}+b$ liên tục trên $\mathbb{R}$ (với $a,\,b\in \mathbb{R}$) và $F(x )=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+2x$ là một nguyên hàm của $f(x )$.

Cho hai hàm số $f(x)=-x^2+4$ và $g(x)=x-1$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua điểm $A(1;2;-3 )$ và vuông góc với hai mặt phẳng: $(P ):\ x+y+z+2=0;\ (Q ):\ 2x-y+z-4=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $(P ):x+y+z+3=0$ và $(Q ):2x+my+2z+7=0$, $m$ là tham số thực.