Nếu hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K,$ với mỗi hằng số $C.$ Xét các mệnh đề:

(i) $G(x)=F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K.$

(ii) $G(x)=C.F(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K.$

(iii) $G(x)=F(x)-C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K.$

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=5x^4$ là

Cho hàm số $f(x)=\left(2x-3 \right)^{3}$ có một nguyên hàm là $F(x)$ thỏa mãn $F(2)=\dfrac{9}{8}$. Giá trị $F\Big(\dfrac12\Big)$ bằng

Cho hình phẳng $(H )$ giới hạn bởi các đường $y=f(x )$, $y=2$, $x=a$, $x=b$, với $a\le b$. Công thức tính diện tích hình phẳng $(H )$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$, đường thẳng $\Delta ': \, \dfrac{x+\dfrac{11}{3}}{7}=\dfrac{y-\dfrac{4}{3}}{-2}=\dfrac{z-\dfrac{13}{3}}{-5}$ và đường thẳng $\Delta: \, \dfrac{1-x}{2}=y=\dfrac{z-1}{2}$. Biết $\Delta '$ là hình chiếu của $\Delta$ lên mặt phẳng $(P)$ và $M(1;1;0)$ là một điểm nằm trên $(P)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của $(P)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2;0;0 ),\,B(0;4;0 ),\,C(0;0;6 )$. Gọi $(P )$ là mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và song song với mặt phẳng $(ABC )$, biết khoảng cách giữa mặt phẳng $(P )$ và mặt phẳng $(ABC )$ bằng $\dfrac{12}{7}$. Phương trình của $(P )$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $y=x^2-3x+\dfrac 1x$ là

Gọi $(H)$ là hình được giới hạn bởi nhánh parabol $y=2x^2$ (với $x\ge 0$), đường thẳng $y=-x+3$ và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình $(H)$ khi quay quanh trục $Ox$ bằng

Cho hàm số $f(x),\,g(x)$ liên tục trên $[0;9]$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_{0}^{9}{f(x )\mathrm{d}x}=37$ và $\displaystyle\int\limits_{9}^{0}{g(x )\mathrm{d}x}=16$. Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{9}{[ 2f(x )+3g(x)]\mathrm{d}x}$ bằng

Kết quả của ${I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}}x\mathrm{d}x}$ bằng $a-\dfrac{\pi}{b}$. Giá trị của $a+b$ là

Tích phân $\displaystyle \int \limits_{0}^{\ln 2} \big( \mathrm{e}^x + 1 \big) \mathrm{e}^x \mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x )=\sin x$.

Cho hai hàm số $f(x)=-x^2+4$ và $g(x)=x-1$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $M(2;0;-1)$, $N(1;-1;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):\,3x+2y-z+5=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;3;-2)$ và mặt phẳng $(\alpha):2x+y-z+5=0$.