Một công ti trung bình bán được $600$ chiếc máy lọc không khí mỗi tháng với giá $10$ triệu dồng một chiếc. Một khảo sát cho thấy nếu giảm giá bán mỗi chiếc $400$ nghìn đồng, thì số lượng bán ra tăng thêm khoảng $60$ chiếc mỗi tháng. Gọi $p$ (triệu đồng) là giá của mỗi máy, $x$ là số máy bán ra. Khi đó, hàm cầu là $p=p(x)$ và hàm doanh thu là $R(p)=p x$. Hỏi công ti phải bán mỗi chiếc với số tiền bao nhiêu triệu đồng để doanh thu là lớn nhất?

Trả lời:

Trong hệ trục toạ độ $(Oxy)$, cho đồ thị hàm số $(C)$: $y=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ $(x>-1)$ mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển, một trạm phát sóng đặt tại điểm $I(-1;-1)$. Biết hoành độ điểm $M$ thuộc đồ thị $(C)$ mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là $x_0=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a}}-b$ (Loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính $a.n+b$.

Trả lời:

Một kiến trúc sư muốn xây dựng một tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài $300$ mét . Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá $5$ tỉ đồng trên $1$ mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỉ đồng?

Trả lời:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. 

 Hàm số $y=\sqrt{4-f^2(x)}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Trả lời:  

Biết rằng hàm số $y=\dfrac{x^3}{3}+3(m-1)x^2+9x+1$ nghịch biến trên $(x_1;x_2)$ và đồng biến trên các khoảng còn lại của tập xác định. Nếu $| x_1-x_2 |=6$ thì tổng các giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu là bao nhiêu?

Trả lời:

Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số $P(t)=\dfrac{a}{b+{\mathrm{e}^{-0,75t}}}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu $t=0$, quần thể có $20$ tế bào và tăng với tốc độ $12$ tế bào/giờ. Theo mô hình này, số lượng nấm men không vượt quá bao nhiêu?

Trả lời: