Cho phương trình $x^{2}-8x+m=0$ $(1)$ (với $m$ là tham số). Giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, \, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 2x_{1} - 2x_{2} = 16$ bằng bao nhiêu?

Giải phương trình $x^{2} + 5x + 8 = 2\sqrt{x+3}$ trên tập số thực.

Một khu dân cư được xây dựng trên mảnh đất có dạng là một tam giác với độ dài các cạnh $AB = 750$ m, $AC = 1\,000$ m, $BC = 1\,250$ m và được bao quanh bởi ba con đường. Ở bên trong khu dân cư, người ta chọn tại điểm $O$ cách đều cả ba con đường để làm một cột cờ. Hỏi cột cờ cách mỗi con đường một khoảng là bao nhiêu mét?

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB \lt AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Vẽ các đường cao $AD, \, BE, \, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$. Đường thẳng $EF$ cắt đường tròn $(O)$ tại các điểm $M$ và $N$ ($M, \, N$ lần lượt nằm trên các cung nhỏ $AB, \, AC$). Thực hiện các yêu cầu sau:

Cho bảng có kích thước $3 \times 3$ như hình vẽ bên dưới. Ban đầu, bạn An chọn hai ô vuông và tô đỏ hai ô đó. Ở mỗi bước tiếp theo, bạn An tô đỏ tất cả các ô vuông có chung cạnh với ít nhất một ô đỏ trước đó. Gọi $k$ là số bước để sau $k$ bước đó, tất cả các ô vuông trong bảng đều được tô màu đỏ (không tính bước tô đỏ hai ô vuông lúc ban đầu). Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$.