Cho $a, \, b \gt 0$ thỏa mãn $(1+a)(1+b)=2\,026$. Tính giá trị của biểu thức: $M=\dfrac{\sqrt{(2\,025+a^{2})(2\,025+b^{2})}}{a+b}$.

Một mảnh đất có diện tích thay đổi theo thời gian. Biết rằng mỗi tháng, diện tích mảnh đất giảm đi $10\%$ và mất thêm $3$ m². Tính diện tích mảnh đất ban đầu, biết rằng sau $2$ tháng, diện tích mảnh đất còn lại là $51$ m².

Cho phương trình $x^{2}-3 x-1=0$. Biết $x_{1}, \, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: $A=x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-7 x_{1} x_{2}+x_{1}+10 x_{2}$.

Ba bạn Ngọc, An, Thái đi mua kẹo gồm ba loại A, B, C. Biết rằng:

- Ngọc mua $3$ viên loại A, $9$ viên loại B, $6$ viên loại C và phải trả $48 \, 000$ đồng.

- An mua $4$ viên loại A, $4$ viên loại B, $16$ viên loại C và phải trả $72 \, 000$ đồng.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ngoại tiếp đường tròn nội tiếp $(I ; \, r)$. Biết $AB=4, \, AC=3$. Gọi $E, \, F, \, G$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $AC, \, AB, \, BC$. Lấy điểm $D$ trên đoạn $BC$ sao cho $AE=CD$. Đường thẳng $DI$ cắt $AB$ tại $M$. Đường trung trực của đoạn $CD$ cắt $AC$ tại $N$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $K$. Kẻ đường thẳng qua $N$ vuông góc với $DM$ tại $H$. Tính bán kính $r$, độ dài đoạn $AM$ và số đo góc $\widehat{CHK}$ (số đo góc làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB \lt AC$) có các đường cao $AD, \, BE, \, CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Kẻ $HJ$ vuông góc với $AM$ tại $J$.

Có $n$ đội bóng tham gia một giải đấu vòng tròn một lượt (mỗi đội đấu với một đội khác đúng một lần). Quy tắc tính điểm như sau: Thắng được $2$ điểm, Hòa được $1$ điểm, Thua được $0$ điểm. Kết thúc giải đấu, người ta nhận thấy có $n-5$ đội có số điểm bằng nhau, và $5$ đội còn lại có tổng số điểm là $27$. Tìm $n$.

Cho tập hợp $S=\{x \in \mathbb{N}^{*} \mid 1 \le x \le 18\}$. Chọn ngẫu nhiên $3$ số $a, \, b, \, c$ từ tập $S$ (có thể chọn lặp lại) để lập thành phương trình bậc hai: $ax^{2}+(b+ac)x+bc=0$. Tính xác suất để phương trình trên có ít nhất một nghiệm bằng $-3$.