Cho $f(x) = \dfrac{1}{1+\sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x+5}}$ với $x \in \mathbb{N}$. Chứng minh $f(505)$ là một số nguyên.

Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, người ta cắt bỏ bốn hình vuông có độ dài cạnh $6$ cm ở bốn góc, sau đó gập thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp và có thể tích bằng $480$ cm$^{3}$. Tính độ dài các cạnh của tấm tôn hình chữ nhật ban đầu.

Một hộp chứa $6$ thẻ được ghi số từ $1$ đến $6$. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra $3$ thẻ. Xác suất của biến cố "Trong ba thẻ lấy ra thì có một thẻ có số ghi trên đó bằng tổng hai số ghi trên hai thẻ còn lại" bằng bao nhiêu?

Một con kiến di chuyển một cách ngẫu nhiên theo các đường kẻ từ $A$ đến $C$ (như hình vẽ). Khi tới các ngã rẽ, con kiến luôn di chuyển sang phải hoặc di chuyển lên trên. Xác suất để trên đường đi từ $A$ đến $C$, con kiến di chuyển qua điểm $B$ bằng bao nhiêu?

Từ một điểm $A$ trên mặt đất, một máy laser được đặt để đo đạc hai tòa nhà có chiều cao lần lượt là $BC=30$ m và $EF=120$ m (như hình vẽ). Góc quan sát từ điểm $A$ đến điểm $C$ nằm trên đỉnh tòa nhà thứ nhất là $\alpha$ và đến điểm $F$ nằm trên đỉnh tòa nhà thứ hai là $\beta$. Biết rằng $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ và $\sin \beta = \dfrac{12}{13}$.

Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến điểm $F$.

Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là một điểm trên cạnh $AB$ và $P$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $\widehat{NMP}=60^{\circ}$. Thực hiện các yêu cầu sau: