Phần 1
(10 câu)Cho biểu thức . Thực hiện các yêu cầu sau:
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho với . Chứng minh là một số nguyên.
Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, người ta cắt bỏ bốn hình vuông có độ dài cạnh cm ở bốn góc, sau đó gập thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp và có thể tích bằng cm. Tính độ dài các cạnh của tấm tôn hình chữ nhật ban đầu.
Một nhóm có người (bao gồm đàn ông, đàn bà và trẻ em) đi nghỉ mát ở bãi biển Nhật Lệ. Họ chia nhau mang theo kg vật dụng và lương thực. Mỗi người đàn ông mang theo kg, mỗi nhóm hai người đàn bà mang theo kg, mỗi nhóm ba trẻ em mang theo kg. Tính số người đàn ông, số người đàn bà và số trẻ em trong nhóm đó.
Giải hệ phương trình .
Một hộp chứa thẻ được ghi số từ đến . Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra thẻ. Xác suất của biến cố "Trong ba thẻ lấy ra thì có một thẻ có số ghi trên đó bằng tổng hai số ghi trên hai thẻ còn lại" bằng bao nhiêu? (Nhập đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).
Trả lời:
Một con kiến di chuyển một cách ngẫu nhiên theo các đường kẻ từ đến (như hình vẽ). Khi tới các ngã rẽ, con kiến luôn di chuyển sang phải hoặc di chuyển lên trên. Xác suất để trên đường đi từ đến , con kiến di chuyển qua điểm bằng bao nhiêu? (Nhập đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).
Trả lời:
Từ một điểm trên mặt đất, một máy laser được đặt để đo đạc hai tòa nhà có chiều cao lần lượt là m và m (như hình vẽ). Góc quan sát từ điểm đến điểm nằm trên đỉnh tòa nhà thứ nhất là và đến điểm nằm trên đỉnh tòa nhà thứ hai là . Biết rằng và .
Tính khoảng cách từ điểm đến điểm .
Cho tam giác đều có độ dài cạnh bằng . Gọi là trung điểm của , là một điểm trên cạnh và là một điểm trên cạnh sao cho . Thực hiện các yêu cầu sau:
a) Tính theo .
b) Chứng minh luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
c) Xác định vị trí của sao cho khoảng cách từ đến đạt giá trị lớn nhất.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho và đều là số chính phương.
