Một hộp kín đựng $5$ quả bóng có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số $1; \, 2; \, 3; \, 4; \, 5$. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng từ hộp, quả bóng được lấy ra lần đầu không trả lại vào hộp. Quan sát hai số ghi trên hai quả bóng được lấy ra.

Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong $36$ ngày thì xong. Nếu đội thứ nhất làm trong $6$ ngày và đội thứ hai làm trong $18$ ngày thì chỉ hoàn thành được $30\%$ công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? (Giả sử năng suất mỗi đội là không đổi).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y=\dfrac{1}{2}x^{2}$ và đường thẳng $(d): y=x+4$. Gọi $A, \, B$ là các giao điểm của $(d)$ và $(P)$, trong đó $A$ có hoành độ âm; $C$ là giao điểm của $(d)$ và trục hoành. Một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn tâm $O$, bán kính $OA$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\sqrt{2}MB-MC$.

Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $B C=2 R$. Gọi $H$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $O B$ ($H$ không trùng với $O$ và $B$). Đường thẳng vuông góc với $B C$ tại $H$ cắt nửa đường tròn đã cho tại $A$. Gọi $D$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $A C$ sao cho $D H=A H$. Đường thẳng $H D$ cắt các đường thẳng $A B$ và $A O$ lần lượt tại $E$ và $I$.