Câu 1. (5,0 điểm)
(1 câu)a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 2. (5,0 điểm)
(2 câu)Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Giải hệ phương trình: .
Câu 3. (5,0 điểm)
(1 câu)Cho tam giác có và nội tiếp trong đường tròn . Gọi là điểm đối xứng với qua . Hai điểm lần lượt thuộc các đoạn thẳng và sao cho là trung điểm của .
1. Chứng minh rằng:
a) ;
b) Hai tam giác và đồng dạng.
2. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng đi qua trung điểm của .
Câu 4. (3,0 điểm)
(1 câu)Với mỗi số nguyên dương ta kí hiệu .
a) Tìm số dư khi chia cho .
b) Cho là một số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng và có ước chung lớn nhất không nhỏ hơn .
Câu 5. (2,0 điểm)
(1 câu)Cho số nguyên dương phân biệt không chia hết cho . Chứng minh rằng tồn tại hai số thỏa mãn: chia hết cho .
