Cho biểu thức $P=(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}):\frac{1}{\sqrt{x}+1}$ (với $x\ge 0,x\ne 4,x\ne 9$).

Bài làm

Xét đa thức bậc bốn $P(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$) thoả mãn $P(-1)=-1,P(1)=-1$ và $P(3)=7$.

Bài làm

Giải phương trình $\sqrt{2x-7}+\sqrt{9-2x}=2$.

Bài làm

Đoạn đường $AB$ dài $36$ km, bác Ninh đi xe máy từ $A$ tới $B$ và bác Bình đi xe đạp từ $B$ tới $A$ cùng khởi hành lúc $8$ giờ sáng. Sau một thời gian hai bác gặp nhau tại điểm $C$, đoạn đường $AC$ dài $24$ km. Khi gặp nhau, ngay lập tức, bác Bình quay lại đi về phía $B$. Khi đi tới $B$, bác Ninh liền quay lại hướng về $A$ và gặp bác Bình tại điểm $D$ vào lúc $9$ giờ sáng cùng ngày. Coi vận tốc hai xe không đổi, tính vận tốc của xe máy.

Bài làm

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $x(x^2-3x+3)=y^3+2$.

Bài làm

Chứng minh với mọi số nguyên tố $p>5$, ta có $3^{p^2}-5^p+2$ chia hết cho $30p$.

Bài làm

Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$.

Bài làm

Gia đình ông Minh muốn thiết kế tiểu cảnh cho khu vườn hình vuông $ABCD$ cạnh $10$ mét theo cách sau: xác định trung điểm $M,N$ của các cạnh $AB,CD$, vẽ đường tròn đường kính $MN$ và hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn đường kính $MN$ tại $M,N$ (như hình vẽ). Tại bốn góc khu vườn ông Minh lát gạch, phần không tô màu trồng cỏ và phần còn lại ông trồng hoa. Lấy $\pi \approx 3,14$.

Bài làm

Xét các số thực dương $a,b,c$ thay đổi và thỏa mãn $bc+2ca+3ab\le abc$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{\sqrt{b^2+6ab+4a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{4c^2+18bc+9b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{9a^2+9ca+c^2}}{ca}$.

Bài làm

Một tập được gọi là "đẹp" nếu nó gồm các số nguyên dương phân biệt, không có số nào chia hết cho $2026$ và không tồn tại bất kỳ hai phần tử phân biệt $a,b$ thuộc tập đó thỏa mãn $a^2-b^2$ chia hết cho $2026$.

Bài làm