Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = a$ và $\widehat{B} = 60^\circ$. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Xác suất của biến cố "Số chấm xuất hiện tăng dần" là

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(x-5)^2}$ là

Cho phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, \, x_2$. Giá trị của biểu thức $x_1^2 + 3x_2$ là

Lấy ngẫu nhiên $2$ quả bóng từ một hộp chứa $9$ quả bóng được đánh số từ $1$ đến $9$. Xác suất để lấy được $2$ quả bóng có tổng các số ghi trên hai quả bóng là một số chẵn bằng

Cho $A$ là tập hợp các số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau được lập ra từ các chữ số $0; \, 1; \, 2; \, 3; \, 4$. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập hợp $A$. Số phần tử của không gian mẫu là

Một viên bi thép dạng hình cầu có khối lượng $5$ kg. Biết rằng khối lượng riêng của thép làm viên bi là $7\,800$ kg/m³, bán kính của viên bi tính theo đơn vị mét là

Tất cả các giá trị của $m$ để hệ phương trình $\begin{cases} x - (m+1)y = -3 \\ x + my = m \end{cases}$ có nghiệm duy nhất $(x; \, y)$ sao cho $x + y \gt 0$ là

Tất cả các số thực $m$ để phương trình $(x-2)(x^2 - 3x + 2m - 1) = 0$ có ba nghiệm phân biệt là

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3, \, AC = 4$, đường cao $AH$. Điểm $I$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $IA = 2IB$, $CI$ cắt $AH$ tại $E$. Độ dài đoạn thẳng $CE$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = mx + 1$ (với $m$ là tham số) cắt nhau tại $A$ và $B$. Giá trị của tham số $m$ để đoạn thẳng $AB$ có độ dài nhỏ nhất là

Cho đường thẳng $(d): y = (m-2)x - 2m + 5$ (với $m$ là tham số). Giá trị của $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ tới đường thẳng $(d)$ đạt giá trị lớn nhất là

Cho hai đường tròn $(O; \, R)$ và $(O'; \, 2R)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn $(O; \, R)$ tại $M$ và tiếp xúc với $(O'; \, 2R)$ tại $N$ ($M, \, N$ là hai tiếp điểm khác $A$). Độ dài đoạn thẳng $MN$ tính theo $R$ là

Biết $\sqrt{\sqrt{9 - 4\sqrt{2}} + 4} = a + b\sqrt{2}$ với $a, \, b$ là các số nguyên. Giá trị của biểu thức $a^3 - b^3$ bằng

Cho $a, \, b, \, c$ là các số thực thỏa mãn $a + b + c - 10 = 2\left(\sqrt{a-7} + \sqrt{4b-32} + \sqrt{9c-81}\right)$. Giá trị của biểu thức $a + 2b - c$ bằng

Một thùng hình trụ có chiều cao bằng $1$ m, đường kính đáy $1$ m. Chiều cao mực nước trong thùng là $0,8$ m. Người ta đặt một vật thể dạng hình nón vào trong thùng sao cho đỉnh của hình nón trùng với tâm một đáy của hình trụ, đáy của hình nón trùng với đáy còn lại của hình trụ (như hình vẽ).

Biết rằng nước không vào được bên trong hình nón. Thể tích nước bị tràn ra ngoài tính theo đơn vị lít (giả sử độ dày của thành thùng và đáy thùng không đáng kể, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) là

Cho biểu thức $P = \dfrac{x\sqrt{x}+x+2\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}+1} - \dfrac{1}{x-\sqrt{x}+1} - 1$ với $x \ge 0$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = 2mx + 3$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, \, x_2$ thỏa mãn: $(x_2^2 - 2mx_1 - 3)(x_1^2 - 2mx_2 - 3) = -64$.

Giải phương trình: $4x^2 - 2x - 1 = (2x+1)\sqrt{4x^2 - 8x + 5}$.

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3 - x^2y + 3x^2 + 5x - 5y + 15 = 0 \quad (1) \\ \dfrac{xy + 3x - 6y - 18}{x^2 - 6x + 12} = (y-3)(\sqrt{x+3} - 3) \quad (2) \end{cases}$.

Cho hai số nguyên dương $m, \, n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $2(p - 3\sqrt{mn}) = m + n$. Chứng minh rằng $p + 4m$ và $p + 4n$ đều là các số chính phương.

Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số đều nguyên. Biết rằng tồn tại ba số nguyên phân biệt $a, \, b, \, c$ thỏa mãn $P(a^{2\,025}) = P(b^{2\,025}) = P(c^{2\,025}) = 2\,025$. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $P(x) = 2\,026$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB \lt AC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng $AI$ cắt $BC$ tại $M$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$. Gọi $P$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$ trên $(O)$, $D$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên cạnh $BC$, $G$ là giao điểm khác $A$ của $AD$ với đường tròn $(O)$, $H$ là giao điểm của $PG$ và $ID$.

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $90^\circ \lt \widehat{BAC} \lt 120^\circ$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $BC = CD\sqrt{2}$. Qua $D$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$, cắt $CA$ tại $E$. Chứng minh rằng đường thẳng $CD$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BE$.

Cho $x, \, y, \, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x \ge z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} + \dfrac{y}{\sqrt{y^2+z^2}} + \sqrt{\dfrac{z}{z+x}}$.

Xét bảng ô vuông cỡ $20 \times 20$ gồm $400$ hình vuông có cạnh $1$ đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kì đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá $1$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất $11$ lần.