Bài 1. (5,0 điểm)
(3 câu)Tìm số tự nhiên để và là các số chính phương.
Tìm số tự nhiên biết chia dư và chia dư .
Một hộp đựng viên bi có cùng khối lượng và kích thước, trong đó có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh và số còn lại là bi màu vàng. Bạn Thịnh lấy ngẫu nhiên một viên bi rồi bỏ lại vào hộp.
a) Tính xác suất để bạn Thịnh lấy được viên bi màu vàng.
b) Bạn Thịnh được mẹ cho thêm viên bi màu xanh vào trong hộp. Tìm , biết rằng khi đó xác suất để bạn Thịnh lấy được viên bi màu vàng là .
Bài 2. (4,0 điểm)
(2 câu)Cho biểu thức (với ).
a) Rút gọn biểu thức .
b) So sánh và .
Với thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 3. (4,0 điểm)
(2 câu)Giải phương trình .
Giải hệ phương trình .
Bài 4. (6,0 điểm)
(2 câu)Một mảnh vườn hình thang, đáy nhỏ có độ dài m và đáy lớn có độ dài m, hai góc kề đáy lớn lần lượt bằng và . Tính diện tích của mảnh vườn.
Cho đường tròn và một điểm cố định nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến của đường tròn ( là các tiếp điểm). Gọi là một điểm di động trên cung nhỏ ( khác và ). Đường thẳng cắt tại điểm thứ hai là . Gọi là trung điểm của đoạn . Gọi lần lượt là giao điểm của với .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh .
c) Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên cạnh . Xác định vị trí của sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5. (1,0 điểm)
(1 câu)Bên trong một hình vuông có cạnh bằng cm, ta đặt điểm phân biệt và không có bất kì điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tồn tại điểm trong điểm đó tạo thành một tam giác có diện tích không lớn hơn cm2.
