Gọi $x_1, \, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $2x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0$ ($m$ là tham số). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2x_1x_2 + x_1 + x_2 - 4$ là

Hệ phương trình $\begin{cases} (a+1)x - 2(3b+2)y = 6 \\ (3b-1)x + 2ay = 56 \end{cases}$ ($x, \, y$ là ẩn) có nghiệm duy nhất là $(-2; \, 3)$. Giá trị của $(a; \, b)$ là

Cho đa thức $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Biết $a, \, b, \, c$ là các số thực thỏa mãn đa thức $f(x)$ chia cho đa thức $g(x) = x + 1$ dư $-2$ và chia cho đa thức $h(x) = x - 2$ dư $7$. Giá trị của biểu thức $P = (2\,025a + 2\,023b + c)^{2\,026} + 1$ là

Giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \sqrt{8 - 2x} + \sqrt{2x + 2}$ là

Gọi $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng $1$. Khoảng cách giữa hai điểm $O$ và $I$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d): y = 2x + m - 1$. Các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $(d)$ bằng $1$ là

Trong một chiếc hộp có $15$ viên bi đỏ, $10$ viên bi xanh và $5$ viên bi vàng (cùng kích thước và đồng chất). Xác suất để lấy ra $5$ viên bi có đủ cả $3$ màu và số viên bi đỏ không ít hơn $2$ là

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ và đường phân giác $AD$. Biết $BH = 20$ cm, $CH = 45$ cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng $HD$ là

Số các số nguyên $x$ để biểu thức $P = \dfrac{7\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$ nhận giá trị nguyên là

Chữ số tận cùng của số $2\,027^{2\,026^{20}}$ là

Trong bộ đồ dùng học tập bạn An có 5 hộp màu nước khác nhau. Bạn An chọn một số hộp màu (ít nhất một hộp) để mang ra vẽ tranh, số cách chọn hộp màu để mang ra vẽ tranh là

Cho biểu thức:
$A = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2^2} + \sqrt[3]{2 \cdot 1} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^2}} + \dots + \dfrac{1}{\sqrt[3]{2\,026^2} + \sqrt[3]{2\,026 \cdot 2\,025} + \sqrt[3]{2\,025^2}}$
được biểu diễn dưới dạng $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$ với $a, \, b$ là các số nguyên. Giá trị của $a + b$ là

Cho biểu thức $P = \dfrac{x\sqrt{x} + 3}{x - \sqrt{x} - 6} - \dfrac{x + \sqrt{x} - 6}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \dfrac{2\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 2}$ với $x \ge 0; \, x \ne 4; \, x \ne 9$.

Giải phương trình: $2\Big(5x + 3\sqrt{x^2 + x - 2}\Big) = 27 + 3\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2}$.

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3 + xy^2 = -40 & (1) \\ 6x^2 - 8xy + 2y^2 = 16y - 28x & (2) \end{cases}$.

Tìm các cặp số nguyên dương $(x; \, y)$ thỏa mãn $4^x = y^2 + 2y + 13$.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $A = 2p^4 - p^2 + 16$ là một số chính phương.

Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $(O; \, R)$. Lấy $M$ là một điểm bất kì trên cạnh $BC$. Từ $M$ kẻ $ME$ vuông góc với $AB$ ($E \in AB$) và $MF$ vuông góc với $AC$ ($F \in AC$). Gọi $I, \, D$ lần lượt là trung điểm của $AM, \, BC$ và $K$ là giao điểm của $ID$ và $EF$.

Bạn Hùng chia một tờ giấy làm 4 miếng hoặc 8 miếng rời nhau, rồi lấy một trong các miếng nhỏ vừa có, chia tiếp ra làm 4 miếng hoặc 8 miếng nhỏ hơn. Cứ tiếp tục thực hiện chia như vậy nhiều lần cho đến khi được $2\,026$ miếng. Hỏi bạn Hùng cần ít nhất bao nhiêu lần chia?