Rút gọn biểu thức: $M=(\frac{x+2\sqrt{x}+4}{x\sqrt{x}-8}+\frac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1}):(\frac{3\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-2}+\frac{2\sqrt{x}+10}{x+6\sqrt{x}+5})$ (với $x\ge 0;x\ne 1;3;4$).

Bài làm

Cho đa thức $P(x)=x^3+6x^2+ax+b$ với $a,b$ là các số hữu tỉ, thỏa mãn $P(1-\sqrt{3})=0$. Tính giá trị của biểu thức: $Q=17P(3)+12P(2)+2025(a+b+35{)}^{2026}+54$.

Bài làm

Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{ll}y\sqrt{x-2}+y^2=x-1& (1)\\ 3y\sqrt{x-2}-2\sqrt{(x-2)(2y-1)}=x-2y& (2)\end{array}$.

Bài làm

Gọi $X$ là tập hợp các số tự nhiên có $5$ chữ số phân biệt được lập từ các chữ số $1;2;3;4;5$. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của $X$. Tính xác suất để phần tử đó là một số nhỏ hơn $45000$.

Bài làm

Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên $a,b,c$ thoả mãn: $a{b}^2+b=(a+1)c^2+c$ thì $ab+ac+1$ là số chính phương.

Bài làm

Ba xe ô tô cùng xuất phát từ địa điểm $A$ đến địa điểm $B$. Mỗi giờ, xe thứ nhất đi được nhiều hơn xe thứ hai $15$ km, nhiều hơn xe thứ ba $5$ km. Biết rằng xe thứ hai tới $B$ chậm hơn xe thứ nhất $28$ phút, chậm hơn xe thứ ba $20$ phút. Tìm tốc độ từng xe (xem như tốc độ của từng xe là không đổi trong suốt hành trình).

Bài làm

Hai bể cá hình tròn lần lượt có tâm $A$, bán kính $r_1=10$ m và tâm $B$, bán kính $r_2=20$ m, $AB=60$ m, ở gần một con kênh có bờ là một đường thẳng $d$ song song với $AB$. Khoảng cách từ $A,B$ đến bờ kênh là $40$ m. Người ta cần chọn một vị trí $M$ trên bờ kênh để lắp máy bơm nước đến $2$ bể. Các ống dẫn nước $MN,MP$ là các đoạn thẳng nối từ $M$ đến mép bể (tham khảo hình vẽ).

Hỏi tổng độ dài $2$ ống dẫn nước nhỏ nhất là bao nhiêu (biết rằng chênh lệch về độ cao của các bể so với bờ kênh là không đáng kể)?

Bài làm

Hình vuông $ABCD$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo, $K$ là trung điểm của $OB$. Đường tròn tâm $D$ bán kính $DA$ và đường tròn đường kính $AB$ cắt nhau tại điểm $E$ khác $A$. Tia $EO$ cắt $AD$ tại $M$, cắt tia $CD$ tại $F$.

Bài làm

Cho hình chữ nhật $ABCD$, có $AB=60$ cm, $BC=70$ cm. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $F$ sao cho $AE=20$ cm, $BF=30$ cm. Các điểm $H,G$ lần lượt di động trên các cạnh $AD,CD$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $EH+HG+GF$.

Bài làm

Một lưới ô vuông kích thước $12\times 12$, gồm $144$ ô vuông nhỏ bằng nhau. Tô màu mỗi ô bởi một trong ba màu: đỏ, vàng, xanh tuỳ ý sao cho mỗi ô được tô bởi đúng một màu (hình vẽ minh họa).

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất bốn ô được tô cùng màu nằm ở bốn góc của một hình chữ nhật.

Bài làm