Trong một hộp có $32$ thẻ màu xanh, $28$ thẻ màu đỏ và $12$ thẻ màu vàng. Người ta chia toàn bộ số thẻ thành từng cặp gồm hai thẻ khác màu, sau đó chọn ngẫu nhiên một cặp thẻ. Tính xác suất để thu được cặp thẻ gồm một thẻ màu xanh và một thẻ màu đỏ.

Bài làm

Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}{x}^2+xy+y^2=7\\ y^3+7(x-y)=8\end{array}$.

Bài làm

Xét đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên. Biết rằng đa thức $P(x)+27$ có ba nghiệm là ba số nguyên liên tiếp, chứng minh đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Bài làm

Với $a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng $3$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{2abc+1}$.

Bài làm

Cho $n$ là một số nguyên dương. Xét bảng ô vuông $n\times n$, trong đó mỗi ô vuông được tô một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Một hình chữ nhật gồm các ô của bảng là hình chữ nhật tốt nếu hình chữ nhật đó có kích thước $m\times k$ với $m\ge 2,k\ge 2,m\le n,k\le n$ và bốn ô vuông ở bốn đỉnh của hình chữ nhật cùng màu.

1. Chỉ ra một cách tô màu bảng $4\times 4$ sao cho không tồn tại hình chữ nhật tốt.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho với mỗi cách tô hai màu bảng $n\times n$, luôn tồn tại ít nhất một hình chữ nhật tốt.

Bài làm