DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT

Dạng 1: Tổng dãy phân số có dạng $\dfrac{k}{a \cdot (a+k)}$.

Phương pháp giải

1) Tính tổng: $S = \dfrac{1}{a_1 \cdot a_2} + \dfrac{1}{a_2 \cdot a_3} + \dfrac{1}{a_3 \cdot a_4} + \dots + \dfrac{1}{a_{n-1} \cdot a_n}$

Với $a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \dots = a_n - a_{n-1} = 1$

Ta có: $\dfrac{1}{a_1 \cdot a_2} = \dfrac{a_2 - a_1}{a_1 \cdot a_2} = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_2}$;

$\dfrac{1}{a_2 \cdot a_3} = \dfrac{a_3 - a_2}{a_2 \cdot a_3} = \dfrac{1}{a_2} - \dfrac{1}{a_3}$;

Do đó:

$S = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_2} - \dfrac{1}{a_3} + \dfrac{1}{a_3} - \dfrac{1}{a_4} + \dots + \dfrac{1}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_n}$

Bài 1. Tính tổng: $A = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \dfrac{1}{2014 \cdot 2015}$

Lời giải

Ta có:

$A = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \dfrac{1}{2014 \cdot 2015} = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{2014} - \dfrac{1}{2015} = 1 - \dfrac{1}{2015} = \dfrac{2014}{2015}$

Vậy $A = \dfrac{2014}{2015}$.

Dạng 2: Tổng dãy phân số có mẫu là tích $n$ số tự nhiên liên tiếp ($n \geq 3$).

Phương pháp giải

1) Tính tổng sau: $S = \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$

Nhận xét đề bài:

- Tử các số hạng đều là $1$.

- Mẫu các số hạng đều là tích ba số tự nhiên liên tiếp.

- Số hạng tổng quát có dạng: $\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$.

Ta có:

$\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \right]$

Do đó:

$\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{1 \cdot 2} - \dfrac{1}{2 \cdot 3} \right)$

$\dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3 \cdot 4} \right)$

$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{n(n+1)} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:

$S_n = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1 \cdot 2} - \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{n(n+1)} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1 \cdot 2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

Nhận xét kết quả:

Nếu mẫu là tích 3 số tự nhiên liên tiếp thì tổng bằng tích nghịch đảo của $(3-1)$ với hiệu nghịch đảo của tích hai thừa số có giá trị nhỏ nhất và nghịch đảo của tích hai thừa số có giá trị lớn nhất.

$S_n = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1 \cdot 2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

Bài 2. Tính $A = \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{37 \cdot 38 \cdot 39}$

Lời giải

Ta có:

$A = \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{37 \cdot 38 \cdot 39}$

$A = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1 \cdot 2} - \dfrac{1}{2 \cdot 3} \right) + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3 \cdot 4} \right) + \dots + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{37 \cdot 38} - \dfrac{1}{38 \cdot 39} \right)$

$A = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1 \cdot 2} - \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{37 \cdot 38} - \dfrac{1}{38 \cdot 39} \right)$

$A = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1 \cdot 2} - \dfrac{1}{38 \cdot 39} \right)$

$A = \dfrac{185}{741}$

Vậy $A = \dfrac{185}{741}$.

Dạng 3: Tích dãy phân số theo quy luật

Bài 3. Tính tích:

a) $A = \dfrac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \dfrac{3^2}{2 \cdot 4} \cdot \dfrac{4^2}{3 \cdot 5} \dots \dfrac{20^2}{19 \cdot 20}$

b) $B = \dfrac{1^2}{1 \cdot 2} \cdot \dfrac{2^2}{2 \cdot 3} \cdot \dfrac{3^2}{3 \cdot 4} \dots \dfrac{10^2}{10 \cdot 11}$

Lời giải

a) Ta có:

$A = \dfrac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \dfrac{3^2}{2 \cdot 4} \cdot \dfrac{4^2}{3 \cdot 5} \dots \dfrac{20^2}{19 \cdot 20} = \dfrac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \cdot \dfrac{3 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \dfrac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \dots \dfrac{20 \cdot 20}{19 \cdot 20} = \dfrac{(2 \cdot 3 \cdot 4 \dots 20)(2 \cdot 3 \cdot 4 \dots 20)}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 19)(3 \cdot 4 \cdot 5 \dots 21)} = \dfrac{20 \cdot 2}{21} = \dfrac{40}{21}$

b) Ta có:

$B = \dfrac{1^2}{1 \cdot 2} \cdot \dfrac{2^2}{2 \cdot 3} \cdot \dfrac{3^2}{3 \cdot 4} \dots \dfrac{10^2}{10 \cdot 11} = \dfrac{1 \cdot 1}{1 \cdot 2} \cdot \dfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \cdot \dfrac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \dots \dfrac{10 \cdot 10}{10 \cdot 11} = \dfrac{(1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 10)(1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 10)}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 10)(2 \cdot 3 \cdot 4 \dots 11)} = \dfrac{1}{11}$

Dạng 4: Tính tổng dãy phân số có mẫu là lũy thừa các số tự nhiên.

Bài 4. Tính tổng sau: $S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dots + \dfrac{1}{2^{2005}} \quad (1)$

Lời giải

Cách 1: Ta thấy mỗi số hạng liền sau của tổng đều kém số hạng liền trước của nó $2$ lần.

$2S = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dots + \dfrac{1}{2^{2004}} \quad (2)$

Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được $S = 1 - \dfrac{1}{2^{2005}} = \dfrac{2^{2005}-1}{2^{2005}}$.

Cách 2: Ta có: $\dfrac{1}{2}S = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dots + \dfrac{1}{2^{2006}} \quad (3)$

Trừ vế với vế của (1) cho (3) ta được:

$S - \dfrac{1}{2}S = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2^{2006}} = \dfrac{2^{2005}-1}{2^{2006}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}S = \dfrac{2^{2005}-1}{2^{2006}}$

$\Rightarrow S = \dfrac{2^{2005}-1}{2^{2005}}$.