Quay lại giao diện cũ
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Bài 21 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3$, $AC = 4$, $BC = 5$. Vẽ đường tròn $(B; BA)$. Chứng minh rằng $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn.
Hướng dẫn giải
Tam giác $ABC$ có:
$AB^2+AC^2=3^{2}+4^{2}=5^{2}$
Mặt khác: $BC^{2}=5^{2}$
Vậy $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{BC}^{2}$.
Do đó $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ (định lí Py-ta-go đảo).
$CA$ vuông góc với bán kính $BA$ tại $A$ nên $CA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B)$.
Bài 22 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường thẳng $d$, điểm $A$ nằm trên đường thẳng $d$, điểm $B$ nằm ngoài đường thẳng $d$. Hãy dựng đường tròn $(O)$ đi qua điểm $B$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$.
Hướng dẫn giải
Tâm $O$ là giao điểm của đường vuông góc với $d$ tại $A$ và đường trung trực của $AB$. Dựng đường tròn $(O ; OA)$.
Bài 23 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)
Đố. Dây cua-roa trên hình 76 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm $A$, $B$, $C$. Chiều quay của đường tròn tâm $B$ ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm $A$ và đường tròn tâm $C$ (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).
Hướng dẫn giải
Chiều quay của đường tròn tâm $A$ và đường tròn tâm $C$ cùng chiều với chiều quay kim đồng hồ.
Bài 24 (trang 111-112 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn $(O)$, dây $AB$ khác đường kính. Qua $O$ kẻ đường vuông góc với $AB$, cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ở điểm $C$.
Hướng dẫn giải
a) Gọi $H$ là giao điểm của $OC$ và $AB$.
Tam giác $A O B$ cân tại $O, O H$ là đường cao nên
$\widehat{O}_{1}=\widehat{O}_{2}$
$\Delta OBC=\Delta OAC(c.g.c)$ nên $\widehat{OBC}=\widehat{OAC}=90^{\circ}$
Do đó $CB$ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) $AH=\dfrac{AB}{2}=12$(cm).
Xét tam giác vuông $OAH$, ta tính được $OH=9$cm.
Tam giác $OAC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ nên $OA^{2}=OH.OC$.
Từ đó tính được $OC=25$cm.
Bài 25 (trang 111 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn tâm $O$ có bán kính $OA = R$, dây $BC$ vuông góc với $OA$ tại trung điểm $M$ của $OA$.
a) Tứ giác $OCAB$ là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại $B$, nó cắt đường thẳng $OA$ tại $E$. Tính độ dài $BE$ theo $R$.
Hướng dẫn giải
a) Bán kính $OA$ vuông góc với dây $BC$ nên
$MB=MC$
Tứ giác $OCAB$ là hình bình hành (vì $MO=MA$, $MB=MC$), lại có $OA\perp BC$ nên tứ giác đó là hình thoi.
b) Ta có $OA=OB=R, OB=BA$ (theo câu a)),
suy ra tam giác $AOB$ là tam giác đều nên
$\widehat{AOB}=60^{\circ}$. Trong tam giác $OBE$ vuông tại $B$, ta có
$BE=OB \cdot tan 60^{\circ}=R \sqrt{3}$