Công thức cần nhớ: Cấp số cộng SVIP

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_n=7-3n$. Xác định công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó.

Lời giải

$u_n = 7 - 3n = 7 - 3(n-1) - 3 = 4 - 3(n-1)$

Do đó, $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 4$ và công sai $d = -3$.

Ví dụ 2. Một cấp số cộng $(u_n)$ có $u_{13}=8$ và $d=-3$. Tìm số hạng thứ ba của cấp số cộng đó.

Lời giải

Cách 1. Tìm $u_1$ rồi tìm $u_3$

$u_{13} = u_1 +(13-1)d$ nên $u_1 = 8 - 12.(-3) = 44$;

$u_3 = u_1 + 2d = 44 + 2. (-3) = 38$.

Cách 2. Sử dụng công thức nhanh: Liên hệ giữa hai số hạng bất kì

$u_{13} = u_3 + (13-3)d$ suy ra $u_3 = 8 - 10. (-3) = 38$.

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=-21$ và công sai $d=3$. Tổng $16$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng bao nhiêu?

Lời giải

Tổng $16$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

$S_{16} = nu_1 + \dfrac{n(n-1)d}2 = -21. 16 + 8. 15. 3 = 24.$

Dạng 2. Điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng

Ví dụ 4. Tìm giá trị $x$ để ba số $2$; $x + 1$ và $4$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Lời giải

Để ba số $2$; $x + 1$ và $4$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì

$x + 1 = \dfrac{2 + 4}2 = 3$ nên $x = 2$.