Quay lại giao diện cũ
Chứng minh hình học liên quan tới góc nội tiếp
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Từ đỉnh $A$ ta kẻ đường cao $AH$, ($H$ thuộc $BC$). Chứng minh rằng $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$.
Hướng dẫn giải
Kẻ đường kính $AE$ của đường tròn $(O)$.
Ta thấy $\widehat{ACE}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Từ đó $\widehat{OAC}+\widehat{AEC}=90^\circ$ (1).
Theo giả thiết, ta có:
$\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^\circ$ (2).
Mà $\widehat{AEC}=\widehat{ABC}$ (cùng chắn $\overset\frown{AC}$) (3).
Từ (1),(2) và (3) suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$ (đpcm).
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $AH$ là đường cao $(H \in BC)$. Chứng minh rằng: $AB.AC=2R.AH$.
Hướng dẫn giải
Vẽ đường kính $AD$ của đường tròn $(O)$, suy ra $\widehat{ACD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét $\Delta HBA$ và $\Delta CDA$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{ACD} = 90^\circ$;
$\widehat{HBA}=\widehat{CDA}$ (góc nội tiếp cùng chắn $\overset\frown{AC}$);
Do đó $\Delta HBA \backsim \Delta CDA$
Suy ra $\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{AD}$ nên $AB.AC=AD.AH$.
Mà $AD=2R$.
Do đó $AB.AC=2R.AH$.
Cho $\Delta ABC$ nhọn có $\widehat{BAC} = 45^\circ$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BH$, $CK$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$, $E$. Chứng minh $D$, $O$, $E$ thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ta có $BH \perp AC$ nên $\Delta ABH$ vuông tại $H$.
Mà $\widehat{BAH}= 45^\circ$ nên $\widehat{ABH'} = 45^\circ$.
Mặt khác $\widehat{ABD} = \widehat{ACD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AD$) nên $\widehat{ACD} = 45^\circ$. (1)
$CK \perp AB$ nên $\Delta ACK$ vuông tại $K$.
Mà $\widehat{CAK} = 45^\circ$ nên $\widehat{ACK} = 45^\circ$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $\widehat{DCE} = 90^\circ$ nên $DE$ là đường kính.
Vậy $D$, $O$, $E$ thẳng hàng.