Quay lại giao diện cũ
Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn
Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B}=\widehat{D}=90^\circ $. Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B}=\widehat{D}=90^\circ $ nên $OA=OB=OC=OD$ (đường cao ứng với cạnh huyền).
Suy ra bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$, đường kính $AC$.
Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $B{B}'$ và $C{C}'$. Gọi $O$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh đường tròn tâm $O$ bán kính $O{B}'$ đi qua $B$, $C$, ${C}'$.
Hướng dẫn giải
Tam giác $ABC$ có hai đường cao $B{B}'$ và $C{C}'$ nên $\widehat{B{C}'C}=\widehat{B{B}'C}=90^\circ.$
Suy ra $OB=OC=O{B}'=O{C}'$ (đường cao ứng với cạnh huyền).
Do đó bốn điểm $B$, ${C}'$, ${B}'$, $C$ cùng nằm trên một đường tròn.
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=a$, $BC=b$. Chứng minh rằng bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.
Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có $OA=OB=OC=OD \, \Big( =\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}BD \Big)$.
Vậy bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng thuộc $\Big( O;\dfrac{1}{2}AC \Big)$.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $ABC$, ta có: $AC^2=AB^2+BC^2=a^2+b^2$
Do đó $R=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$.
Cho tam giác $ABC$, các đường cao $BD$ và $CE$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$. Kẻ tia $Cx$ vuông góc với tia $BM$ tại $F$. Chứng minh rằng năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.
Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\bot AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.
Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:
$OD=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$ $(1)$
Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$ $(2)$
Và $OF=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$ $(3)$
Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.
Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh rằng bốn trung điểm của bốn cạnh hình thoi cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của bốn cạnh $AB$, $BC$, $CD$ và $DA$ của hình thoi $ABCD$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Ta có $AC\bot BD$.
Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:
$OM=\dfrac{1}{2}AB$; $ON=\dfrac{1}{2}BC$;
$OP=\dfrac{1}{2}CD$; $OQ=\dfrac{1}{2}AD$
Mặt khác $AB=BC=CD=DA$ nên $OM=ON=OP=OQ$.
Do đó bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng nằm trên một đường tròn.
Cho hình vông $ABCD$ có $E$ là giao điểm của hai đường chéo.
a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua các điểm $A$, $B$, $C$ và $D$. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.
b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a), biết rằng hình vuông có cạnh bằng $3$ cm.
Hướng dẫn giải
a) Vì hình vuông $ABCD$ có tâm $E$ suy ra $EA=EB=EC=ED$.
Do đó, các điểm $A$, $B$, $C$ và $D$ cùng thuộc một đường tròn tâm $E$.
Hai trục đối xứng của đường tròn là $AC$ và $BD$.
b) Cạnh hình vuông bằng $3$ cm nên áp dụng định lí Pythagore, ta có:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=3\sqrt{2}$ suy ra $EA=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Vậy bán kính của đường tròn là $R=EA=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ cm.
Cho đường tròn $(O)$, đường thẳng $d$ đi qua $O$ và điểm $A$ thuộc $(O)$ nhưng không thuộc $d$. Gọi $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d;$ $C$ và $D$ lần lượt là điểm đối xứng của $A$ và $B$ qua $O$.
a) Ba điểm $B$, $C$ và $D$ có thuộc $(O)$ không? Vì sao?
b) Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.
c) Chứng minh rằng $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử đường tròn $(O)$ có bán kính $R$ suy ra $OA=R$ $(1)$
Do $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$ suy ra $OA=OB$ $(2)$
Do $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$ suy ra $OA=OC$ $(3)$
Do $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua $O$ suy ra $OB=OD$ $(4)$
Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$ và $(4)$ suy ra $B$, $C$ và $D$ cùng thuộc $(O)$.
b) Ta thấy $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ là trung điểm của mỗi đường, suy ra $ABCD$ là hình chữ nhật.
c) Ta thấy $OC=OD$ suy ra $d$ là đường trung trực của $CD$.
Suy ra $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$.
Cho tam giác $ABC$ có $ \widehat{A}=90^\circ$, đường cao $AH$. Từ $M$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$, kẻ $MD \bot AB, \, ME \bot AC$. Chứng minh năm điểm $A, \, D, \, M, \, H, \, E$ cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Vì ba tam giác $ADM, \, AEM, \, AHM$ có chung cạnh huyền $AM$ nên ba đỉnh góc vuông $D, \, E, \, H$ nằm trên đường tròn đường kính $AM$ có tâm là trung điểm của $AM$.
Vậy năm điểm $A, \, D, \, M, \, H, \, E$ cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tam giác đều $ABC$có cạnh bằng $a$. $AM,BN,CP$ là các đường trung tuyến. Chứng minh bốn điểm $B, \, P, \, N, \, C$ cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
Vì tam giác $ABC$ đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.
Suy ra $AM, \, BN, \, CP$ lần lượt vuông góc với $BC, \, AC, \, AB$.
$\Delta BPC$ là tam giác vuông, có $BC$ là cạnh huyền nên $MP=\dfrac{1}{2}BC=BM=MC$ (1)
$\Delta BNC$ là tam giác vuông, có $BC$ là cạnh huyền nên $NM=\dfrac{1}{2}BC=BM=MC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $PM=NM=MB=MC$ hay các điểm $B, \, P, \, N, \, C$ cùng thuộc đường tròn, đường kính $BC=a$, tâm đường tròn là trung điểm $M$ của $BC$.
Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{C}+\widehat{D}=90^\circ$. Gọi $M, \, N, \, P, \, Q$ lần lượt là trung điểm của $AB, \, BD, \, DC, \, CA$. Chứng minh rằng bốn điểm $M, \, N, \, P, \, Q$ cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Xét tứ giác $MNPQ$, ta có: $MQ$ // $NP$ và $MN$ // $PQ $ suy ra $MNPQ$ là hình bình hành.
Kéo dài $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$.
Ta có: $\widehat{C}+\widehat{D}= 90^\circ$ suy ra $\widehat E=90^\circ$.
Lại có:$MN$ // $ED$ và $MQ$ // $EC$ suy ra $MN \bot MQ$
Do đó $MNPQ$ là hình chữ nhật suy ra $M, \, N, \, P, \, Q$ nằm trên một đường tròn với tâm là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa đường chéo.