Cho các số $a, b, c \neq 0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{a + b + c}$. Chứng minh rằng: $(a + b)(b + c)(c + a) = 0$.

Cho ba số $x, y, z \neq 0$ thỏa mãn $xy + yz + zx = 0$. Chứng minh rằng: $\dfrac{y+z}{x} + \dfrac{z+x}{y} + \dfrac{x+y}{z} = -3$.

Cho các số $a, b, c, d \neq 0$ thỏa mãn $ad = bc$ và $b^2\ne d^2$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2} = \dfrac{a^2-c^2}{b^2-d^2}$.

Cho $a + b + c = 0$ (với $a, b, c \neq 0$). Chứng minh rằng: $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} = 3$.

Cho $a+b=c+d \neq 0$ và $ab=cd$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^3+b^3}{c^3+d^3} = 1$.

Cho $a, b, c \neq 0$ thỏa mãn $a^2 = bc$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^2+c^2}{b^2+a^2} = \dfrac{c}{b}$.

Cho các số thỏa mãn $\dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{c+d}{c-d}$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

Cho $x^2 = y^2+z^2$. Chứng minh rằng: $\dfrac{x^2+y^2-z^2}{x^2-y^2+z^2} = \dfrac{y^2}{z^2}$.

Cho $xy = 1$ (với $x, y \neq -1$). Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{1+x} + \dfrac{1}{1+y} = 1$.

Cho $x+y=1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{x^3+y^3+xy}{x^2+y^2} = 1$.

a) Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}} \le \dfrac{1}{2} \Big( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \Big)$.

b) Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 3$. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}} \le 3$.

a) Chứng minh rằng với số thực $0 \lt x \lt 1$ luôn có: $\dfrac{x}{1-x^2} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2$.

b) Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng $\dfrac{a}{b^2+c^2} + \dfrac{b}{c^2+a^2} + \dfrac{c}{a^2+b^2} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{1+b^2} + \dfrac{b}{1+c^2} + \dfrac{c}{1+a^2} \ge \dfrac{3}{2}$.

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh rằng với các số dương $x, y, z$ luôn có: $\dfrac{xy}{z} + \dfrac{yz}{x} + \dfrac{zx}{y} \ge x+y+z$.

b) Áp dụng kết quả trên, chứng minh rằng: $\dfrac{a^2+bc}{b+c} + \dfrac{b^2+ca}{c+a} + \dfrac{c^2+ab}{a+b} \ge a+b+c$.

a) Chứng minh rằng với hai số dương $x, y$ luôn có: $\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2} \le \sqrt{\dfrac{x+y}{2}}$.

b) Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $\sqrt{a+b-c} + \sqrt{b+c-a} + \sqrt{c+a-b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$.

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn $a+b+c=2$.

a) Chứng minh rằng: $ab+bc+ca - abc > 1$.

b) Áp dụng kết quả trên, chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2+2abc \lt 2$.

Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2} \ge \dfrac{a+b+c}{3}$.

a) Chứng minh rằng với các số thực $x, y, m, n > 0$ luôn có: $\dfrac{(x+y)^2}{m+n} \le \dfrac{x^2}{m} + \dfrac{y^2}{n}$.

b) Cho ba số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng $\dfrac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2} + \dfrac{b^2-ca}{a^2+2b^2+c^2} + \dfrac{c^2-ab}{a^2+b^2+2c^2} \ge 0$.

Cho các số thực $1 \ge a, b, c\le 2$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\Big) \le 10$.

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $xy+yz+zx = 4xyz$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{2x+y+z} + \dfrac{1}{x+2y+z} + \dfrac{1}{x+y+2z} \le 1$.