CHU VI VÀ DIỆN TÍCH CÁC HÌNH TẠO BỞI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT

I. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Giao điểm với các trục tọa độ: Cho hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ($a \neq 0$) có đồ thị là đường thẳng $(d)$. Giao điểm của $(d)$ với trục tung $Oy$ là điểm $A(0; b)$, độ dài đoạn thẳng trên trục tung là $OA = |b|$. Giao điểm của $(d)$ với trục hoành $Ox$ là điểm $B(-\dfrac{b}{a}; 0)$, độ dài đoạn thẳng trên trục hoành là $OB = |-\dfrac{b}{a}|$.

2. Khoảng cách và độ dài: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, độ dài đoạn thẳng nằm trên trục hoành hoặc song song trục hoành được tính bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai hoành độ. Tương tự đối với trục tung là hiệu hai tung độ. Để tính cạnh huyền, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông.

3. Bất đẳng thức Cauchy: Cho hai số không âm $a$ và $b$, ta luôn có $a + b \ge 2\sqrt{ab}$. Dấu "=" xảy ra khi $a = b$.

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Chu vi và diện tích tam giác tạo bởi $(d)$ và hai trục tọa độ $Ox, Oy$

Phương pháp giải:

⚡ Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm $A$ của đường thẳng $(d)$ với trục $Ox$ (cho $y = 0$). Tính độ dài đoạn $OA$.

⚡ Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm $B$ của đường thẳng $(d)$ với trục $Oy$ (cho $x = 0$). Tính độ dài đoạn $OB$.

⚡ Bước 3: Diện tích tam giác vuông $OAB$ là $S = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB$.

⚡ Bước 4: Áp dụng định lý Pythagore tính cạnh huyền $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2}$. Chu vi tam giác là $P = OA + OB + AB$.

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = 2x - 4$ có đồ thị là đường thẳng $(d)$. Tính chu vi và diện tích của tam giác tạo bởi đường thẳng $(d)$ và hai trục tọa độ.

Lời giải:

Gọi $A$ là giao điểm của $(d)$ với trục hoành $Ox$. Cho $y = 0$, ta có:

$2x - 4 = 0$

$2x = 4$

$x = 2$

Tọa độ điểm $A(2; 0)$. Độ dài đoạn thẳng $OA = |2| = 2$.

Gọi $B$ là giao điểm của $(d)$ với trục tung $Oy$. Cho $x = 0$, ta có:

$y = 2 \cdot 0 - 4$

$y = -4$

Tọa độ điểm $B(0; -4)$. Độ dài đoạn thẳng $OB = |-4| = 4$.

Tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Diện tích tam giác $OAB$ là:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $OAB$, cạnh huyền $AB$ là:

$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2}$

$AB = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Chu vi tam giác $OAB$ là:

$P = OA + OB + AB = 2 + 4 + 2\sqrt{5} = 6 + 2\sqrt{5}$.

Dạng 2. Diện tích tam giác tạo bởi hai đường thẳng và một trục tọa độ

Phương pháp giải:

⚡ Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm để tìm tọa độ giao điểm $A$ của hai đường thẳng. Đường cao của tam giác hạ từ đỉnh $A$ xuống trục hoành $Ox$ là $AH = |y_A|$ (nếu trục đáy là $Oy$ thì $AH = |x_A|$).

⚡ Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm $B$ và $C$ của hai đường thẳng với trục tọa độ đáy.

⚡ Bước 3: Tính độ dài cạnh đáy $BC$ bằng giá trị tuyệt đối hiệu hai tọa độ tương ứng của $B$ và $C$.

⚡ Bước 4: Tính diện tích tam giác: $S = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $(d_1): y = x + 2$ và $(d_2): y = -x + 4$. Tính diện tích tam giác tạo bởi hai đường thẳng này và trục hoành $Ox$.

Lời giải:

Hoành độ giao điểm $A$ của $(d_1)$ và $(d_2)$ là nghiệm của phương trình:

$x + 2 = -x + 4$

$2x = 2$

$x = 1$

Thay $x = 1$ vào phương trình $(d_1)$, ta có:

$y = 1 + 2 = 3$

Tọa độ đỉnh $A(1; 3)$. Khoảng cách từ đỉnh $A$ đến trục hoành $Ox$ là đường cao $AH = |3| = 3$.

Giao điểm $B$ của $(d_1)$ với trục hoành $Ox$: Cho $y = 0$, ta có:

$x + 2 = 0$

$x = -2$

Tọa độ đỉnh $B(-2; 0)$.

Giao điểm $C$ của $(d_2)$ với trục hoành $Ox$: Cho $y = 0$, ta có:

$-x + 4 = 0$

$x = 4$

Tọa độ đỉnh $C(4; 0)$.

Độ dài cạnh đáy $BC$ nằm trên trục $Ox$ là:

$BC = |x_C - x_B| = |4 - (-2)| = 6$

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$.

Dạng 3. Diện tích tam giác tạo bởi ba đường thẳng cắt nhau

Phương pháp giải:

⚡ Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm để tìm ra tọa độ cụ thể của 3 đỉnh $A, B, C$ của tam giác.

⚡ Bước 2: Quan sát tọa độ 3 đỉnh để dựng một hình chữ nhật bao bọc vừa khít tam giác $ABC$. Các cạnh của hình chữ nhật này đi qua các đỉnh và song song với hai trục $Ox, Oy$.

⚡ Bước 3: Tính diện tích của hình chữ nhật lớn bao quanh.

⚡ Bước 4: Tính diện tích của 3 tam giác vuông nằm lấp đầy ở 3 góc phần bù. Lấy diện tích hình chữ nhật trừ đi tổng diện tích 3 tam giác vuông góc để ra diện tích tam giác $ABC$ cần tìm.

Ví dụ 3. Tính diện tích tam giác tạo bởi ba đường thẳng $(d_1): y = x + 2$, $(d_2): y = -2x + 5$ và $(d_3): y = \dfrac{1}{2}x$.

Lời giải:

Tọa độ đỉnh $A$ là giao điểm của $(d_1)$ và $(d_2)$. Xét phương trình hoành độ:

$x + 2 = -2x + 5$

$3x = 3$

$x = 1$

$y = 1 + 2 = 3$

Tọa độ $A(1; 3)$.

Tọa độ đỉnh $B$ là giao điểm của $(d_1)$ và $(d_3)$. Xét phương trình hoành độ:

$x + 2 = \dfrac{1}{2}x$

$\dfrac{1}{2}x = -2$

$x = -4$

$y = -4 + 2 = -2$

Tọa độ $B(-4; -2)$.

Tọa độ đỉnh $C$ là giao điểm của $(d_2)$ và $(d_3)$. Xét phương trình hoành độ:

$-2x + 5 = \dfrac{1}{2}x$

$\dfrac{5}{2}x = 5$

$x = 2$

$y = \dfrac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Tọa độ $C(2; 1)$.

Diện tích hình chữ nhật là $S_{HCN} = 6 \cdot 5 = 30$.

Tam giác thứ nhất liên kết $A(1; 3)$ và $B(-4; -2)$: $S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot |1 - (-4)| \cdot |3 - (-2)| = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12,5$.

Tam giác thứ hai liên kết $A(1; 3)$ và $C(2; 1)$: $S_2 = \dfrac{1}{2} \cdot |2 - 1| \cdot |3 - 1| = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Tam giác thứ ba liên kết $B(-4; -2)$ và $C(2; 1)$: $S_3 = \dfrac{1}{2} \cdot |2 - (-4)| \cdot |1 - (-2)| = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$.

Diện tích tam giác $ABC$ cần tìm:

$S_{ABC} = S_{HCN} - (S_1 + S_2 + S_3)$

$S_{ABC} = 30 - (12,5 + 1 + 9)$

$S_{ABC} = 30 - 22,5 = 7,5$.

Dạng 4. Bài toán tìm tham số $m$ để diện tích đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Phương pháp giải:

⚡ Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng với hai trục $Ox, Oy$ theo tham số $m$. Tính độ dài $OA, OB$.

⚡ Bước 2: Lập biểu thức tính diện tích $S = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB$ theo tham số $m$.

⚡ Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức $(A \pm B)^2 \ge 0$ hoặc bất đẳng thức Cauchy $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ (với $a, b \ge 0$) để đánh giá biểu thức diện tích, từ đó suy luận ra giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) và tìm $m$.

Ví dụ 4. Cho hàm số $y = \dfrac{-2}{m^2 - 4m + 5}x + 2$ có đồ thị là đường thẳng $(d_m)$. Tìm $m$ để diện tích tam giác tạo bởi $(d_m)$ và hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi $A$ là giao điểm của $(d_m)$ với trục tung $Oy$. Cho $x = 0$, ta có:

$y = 2$

Tọa độ $A(0; 2)$. Độ dài đoạn thẳng $OA = |2| = 2$.

Gọi $B$ là giao điểm của $(d_m)$ với trục hoành $Ox$. Cho $y = 0$, ta có:

$\dfrac{-2}{m^2 - 4m + 5}x + 2 = 0$

$\dfrac{-2}{m^2 - 4m + 5}x = -2$

$x = m^2 - 4m + 5$

Tọa độ $B(m^2 - 4m + 5; 0)$. Độ dài đoạn thẳng $OB = |m^2 - 4m + 5|$.

Diện tích tam giác vuông $OAB$ là:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB$

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot |m^2 - 4m + 5|$

$S = |m^2 - 4m + 5|$

Ta áp dụng hằng đẳng thức để đánh giá biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối:

$m^2 - 4m + 5 = m^2 - 4m + 4 + 1$

$m^2 - 4m + 5 = (m - 2)^2 + 1$

Vì $(m - 2)^2 \ge 0$ với mọi giá trị của $m$.

Nên $(m - 2)^2 + 1 \ge 1$ với mọi giá trị của $m$.

Do đó $m^2 - 4m + 5 > 0$ và $|m^2 - 4m + 5| = m^2 - 4m + 5$.

Biểu thức diện tích đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1$. Dấu "=" xảy ra khi:

$m - 2 = 0$

$m = 2$

Vậy với $m = 2$ thì diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 5. Cho hàm số $y = -mx + m + 2$ (với $m > 0$) có đồ thị là đường thẳng $(d_m)$. Tìm $m$ để diện tích tam giác tạo bởi $(d_m)$ và hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi $A$ là giao điểm của $(d_m)$ với trục tung $Oy$. Cho $x = 0$, ta có:

$y = m + 2$

Vì $m > 0$ nên $m + 2 > 0$. Tọa độ $A(0; m + 2)$. Độ dài đoạn thẳng $OA = m + 2$.

Gọi $B$ là giao điểm của $(d_m)$ với trục hoành $Ox$. Cho $y = 0$, ta có:

$-mx + m + 2 = 0$

$mx = m + 2$

$x = \dfrac{m + 2}{m}$

Vì $m > 0$ nên $\dfrac{m + 2}{m} > 0$. Tọa độ $B(\dfrac{m + 2}{m}; 0)$. Độ dài đoạn thẳng $OB = \dfrac{m + 2}{m}$.

Diện tích tam giác vuông $OAB$ là:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB$

$S = \dfrac{1}{2} \cdot (m + 2) \cdot \dfrac{m + 2}{m}$

$S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{m^2 + 4m + 4}{m}$

$S = \dfrac{1}{2} \cdot (m + 4 + \dfrac{4}{m})$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $m$ và $\dfrac{4}{m}$, ta có:

$m + \dfrac{4}{m} \ge 2\sqrt{m \cdot \dfrac{4}{m}}$

$m + \dfrac{4}{m} \ge 2\sqrt{4}$

$m + \dfrac{4}{m} \ge 4$

Thay vào biểu thức diện tích, ta được:

$S \ge \dfrac{1}{2} \cdot (4 + 4)$

$S \ge 4$

Dấu "=" xảy ra khi:

$m = \dfrac{4}{m}$

$m^2 = 4$

$m = 2$ (thỏa mãn điều kiện $m > 0$)

Vậy với $m = 2$ thì diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất là $4$.