Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự $5$ cầu thủ trong $11$ cầu thủ để đá luân lưu $5$ quả 11 mét. Huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có bao nhiêu cách chọn?

Một nhóm $6$ bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua $6$ vé gồm $3$ vé mang sổ ghế chẵn, $3$ vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong $6$ bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?

Nhân dịp lễ sơ kết học kì $I$, để thưởng cho ba học sinh có thành tích tốt nhất, lớp cô An đã mua $10$ cuốn sách khác nhau và chọn ngẫu nhiên ra $3$ cuốn để phát thưởng cho $3$ học sinh, trong đó mỗi học sinh nhận $1$ cuốn. Cô An có bao nhiêu cách phát thưởng?

Ở trường phổ thông có tất cả $13$ môn học. Cần tạo thời khóa biểu cho $1$ ngày học $5$ tiết thuộc $5$ môn học khác nhau. Có bao nhiêu cách tạo thời khóa biểu?

Cho $7$ điểm khác nhau cùng nằm trên một đường tròn. Có bao nhiêu vectơ (khác vectơ–không) có điểm đầu và điểm cuối thuộc các điểm đã cho?

Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $A_n^3+5 A_n^2=2(n+15)$?

Mỗi máy tính tham gia vào mạng phải có một địa chỉ duy nhất, gọi là địa chỉ IP, nhằm định danh máy tính đó trên Internet. Xét tập hợp A gồm các địa chỉ IP có dạng $192.168.abc.deg$, trong đó $a$, $d$ là các chữ số khác nhau được chọn ra từ các chữ số $1, \, 2$ còn $b, \, c, \, e, \, g$ là các chữ số đôi một khác nhau được chọn ra từ các chữ số $0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5$. Số phần tử của tập hợp A là

Trên một trạm quan sát, người ta treo $4$ lá cờ màu khác nhau (đỏ, xanh, vàng, cam). Mỗi khi muốn báo một tín hiệu, chiến sĩ thông tin lấy $2$ hoặc $3$ trong số $4$ lá cờ đó và cắm thành một hàng trên nóc của trạm. Có bao nhiêu tín hiệu khác nhau có thể được tạo ra?

Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra $100$ vé xổ số đánh số từ $1$ đến $100$ cho $100$ người. Xổ số có $4$ giải: $1$ giải nhất, $1$ giải nhì, $1$ giải ba, $1$ giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số $47$ được giải nhất?

Phương trình $A_x^{10}+A_x^9=9 A_x^8$ có tập nghiệm là