Cho mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $b$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$. Lấy một đường thẳng $a$ vuông góc với $(P)$ (H.7.47).

a) Tính góc giữa $a$ và $b$.

b) Tính góc giữa$(P)$ và $(Q)$.

Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng - mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

HĐ1 (Bài 23): Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng - mở cánh cửa, ta coi mép dưới $BC$ của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).

a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng đi qua $B$ trên sàn nhà.

b) Giải thích vì sao đường thẳng $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:

a) Các mặt phẳng $(AB'C'D')$ và $(ABCD)$ cùng vuông góc với $(SAC)$;

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(AB'C'D')$ và $(ABCD)$ là đường thẳng đi qua $A$, nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và vuông góc với $AC$.

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Gọi $B'$, $C'$, $D'$ tương ứng là hình chiếu của $A$ trên $SB, \, SC, \, SD$. Chứng minh rằng:

a) $(SBC) \perp (SAB)$, $AB' \perp (SBC)$, $AD' \perp (SCD)$.

b) Các điểm $A, \,B', \, C', \, D'$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Giải. (H.7.50)

a) Vì $BC \perp SA$ và $BC \perp AB$ nên $BC \perp (SAB)$. Do đó, $(SBC) \perp (SAB)$. Đường thẳng $AB'$ thuộc $(SAB)$ và vuông góc với $SB$ nên $AB' \perp (SBC)$. Tương tự $AD' \perp (SCD)$.

b) Từ câu a ta có $AB' \perp SC, \, AD' \perp SC$. Các đường thẳng $AB', \, AC', \, AD'$ cùng đi qua $A$ và vuông góc với $SC$ nên cùng thuộc một mặt phẳng. Do đó bốn điểm $A, \, B', \, C', \, D'$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ $100^\circ$ đến $105^\circ$. Trong Hình 7.51, các tia $Ox$, $Oy$ được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến $a$ của mặt ghế và lưng ghế.

a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ $100^\circ$ đến $105^\circ$?

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $AB = AC = a$, $\widehat{BAC} = 120^\circ$, $SA = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh rằng $\widehat{SMA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[S, \, BC, \, A]$.

b) Tính số đo của góc nhị diện $[S, \, BC, \, A]$.

Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính $80$ cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa $O$ của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng $d$; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi $d = 40$ cm.

Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vì sao?

Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?

Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kính và kim loại) có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh bằng $34$ m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ $32,3$ m (theo Wikipedia.org).

Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đáy là tâm của đáy tháp.

Cho hình chóp $S.A_1A_2...A_n$. Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(A_1A_2...A_n)$ (H.7.67).

a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm $O$ có gì đặc biệt đối với đa giác đều $A_1A_2...A_n$?

b) Nếu đa giác $A_1A_2...A_n$ là đều và $O$ là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?