Câu hỏi lý thuyết Bài 2 (SGK)

a) Tính diện tích $S$ của $T$ khi $t = 4$.

b) Tính diện tích $S(t)$ của $T$ khi $t \in [1; 4]$.

c) Chứng minh rằng $S(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(t) = t + 1$, $t \in [1; 4]$ và diện tích $S = S(4) - S(1)$.

a) Với mỗi $x \in [1; 2]$, gọi $S(x)$ là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $1$ và $x$. Cho $h > 0$ sao cho $x + h \lt 2$. So sánh hiệu $S(x + h) - S(x)$ với diện tích hai hình chữ nhật $MNPQ$ và $MNEF$. Từ đó suy ra $0 \le \dfrac{S(x + h) - S(x)}{h} - x^2 \le 2xh + h^2$.

b) Cho $h \lt 0$ sao cho $x + h > 1$. Tương tự phần a, đánh giá hiệu $S(x) - S(x + h)$ và từ đó suy ra $2xh + h^2 \le \dfrac{S(x + h) - S(x)}{h} - x^2 \le 0$.

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi $h \ne 0$, ta có $\Big|\dfrac{S(x + h) - S(x)}{h} - x^2\Big| \le 2x|h| + h^2$. Từ đó chứng minh $S'(x) = x^2$, $x \in (1; 2)$. (Người ta chứng minh được $S'(1) = 1$, $S'(2) = 4$, tức là $S(x)$ là một nguyên hàm của $x^2$ trên $[1; 2]$).

d) Từ kết quả của phần c, ta có $S(x) = \dfrac{x^3}{3} + C$. Sử dụng điều này với lưu ý $S(1) = 0$ và diện tích cần tính $S = S(2)$, hãy tính $S$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm tuỳ ý của $f(x) = x^2$ trên $[1; 2]$. Hãy so sánh $S$ và $F(2) - F(1)$.