Khi một vật được đặt trên mặt bàn phẳng, mặt bàn sẽ tác động lên vật một phản lực pháp tuyến $\overrightarrow{n}$, giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\overrightarrow{n}$ có phương gì? (H.5.1)

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(1; -2; 1)$, $B(-2; 1; 0)$, $C(-2; 3; 2)$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$.

Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian $Oxyz$, với đơn vị đo độ dài là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí $P$ một lực $\overrightarrow{F}$ để vặn con ốc ở vị trí $O$ (H.5.6) thì moment lực $\overrightarrow{M}$ được tính bởi công thức $\overrightarrow{M} = [\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{F}]$.

a) Cho $\overrightarrow{OP} = (x; y; z)$, $\overrightarrow{F} = (a; b; c)$. Tính $\overrightarrow{M}$.

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động $\overrightarrow{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực từ $P$ sang $P'$ sao cho $\overrightarrow{OP'} = 2\overrightarrow{OP}$ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (A; B; C)$.

Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của $(\alpha)$.

HĐ4. Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)$. Gọi $\overrightarrow{n} = (A; B; C)$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ và $M_0(x_0; y_0; z_0)$ là một điểm thuộc $(\alpha)$.

a) Một điểm $M(x; y; z)$ thuộc $(\alpha)$ khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{M_0M}$ có mối quan hệ gì?

b) Điểm $M(x; y; z)$ thuộc $(\alpha)$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức nào?

Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định toạ độ của vị trí $M_1, \, M_2, \, M_3$ của vật tương ứng với các thời điểm $t = 0, \, t = \dfrac{\pi}{2}, \, t = \pi$.

b) Chứng minh rằng $M_1, \, M_2, \, M_3$ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$.

c) Vị trí $M(\cos t - \sin t; \cos t + \sin t; \cos t)$ có luôn thuộc mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$ hay không?

Tình huống mở đầu: Một vật thể chuyển động trong không gian $Oxyz$. Tại mỗi thời điểm $t$, vật thể ở vị trí $M(\cos t - \sin t; \cos t + \sin t; \cos t)$. Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh. Trong không gian $Oxyz$, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng $27$ (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P) : x + 3y + z + 2 = 0$ và $(Q) : x + 3y + z + 5 = 0$.

a) Chứng minh rằng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc $(P)$, tính khoảng cách từ điểm đó đến $(Q)$. Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là $115^\circ$. Trong không gian $Oxyz$, camera được đặt tại điểm $C(1; 2; 4)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P) : x + 2y + 2z + 3 = 0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)