Hãy chỉ ra một hình ảnh đường thẳng song song với mặt phẳng trong bức ảnh bên (H.4.34).

Trong Ví dụ 1, đường thẳng $AC$ cắt các mặt phẳng nào, nằm trong các mặt phẳng nào?

Ví dụ 1. Cho hình tứ diện $ABCD$ (H.4.35).

Trong các mặt phẳng chứa các mặt của hình tứ diện, hãy cho biết:
a) Đường thẳng $AB$ cắt các mặt phẳng nào;
b) Đường thẳng $AB$ nằm trong các mặt phẳng nào.

Giải

a) Đường thẳng $AB$ cắt các mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$.

b) Đường thẳng $AB$ nằm trong các mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$.

Cho đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và $a$ song song với đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $a$ và $b$ (H.4.36).

Nếu $a$ và $(P)$ cắt nhau tại điểm $M$ thì $M$ có thuộc $(Q)$ và $M$ có thuộc $b$ hay không? Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.

Phát biểu "Nếu đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$" còn đúng không nếu bỏ điều kiện "$a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$"?

Trong Ví dụ 2, chứng minh rằng đường thẳng $c$ song song với mp$(a, \, b)$, đường thẳng $b$ song song với mp$(a, \, c)$.

Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng $a, \, b, \, c$ đôi một song song với nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng (H.4.37).

Chứng minh rằng đường thẳng $a$ song song với mp$(b, \, c)$.
Giải
Ba đường thẳng $a, \, b, \, c$ không cùng nằm trong một mặt phẳng nên đường thẳng a không nằm trong mp$(b, \, c)$. Vì đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ nằm trong mp$(b, \, c)$ nên đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng mp$(b, \, c)$.

Tình huống mở đầu: Khi xây tường gạch, người thợ thường bắt đầu với việc xây các viên gạch dẫn, sau đó căng dây nhợ dọc theo cạnh của các viên gạch dẫn đó để làm chuẩn rồi mới xây các viên gạch tiếp theo. Việc sử dụng dây căng như vậy có tác dụng gì? Toán học mô tả vị trí giữa dây căng, các mép gạch với mặt đất như thế nào?

Trong tình huống mở đầu, hãy giải thích tại sao dây nhợ khi căng thì song song với mặt đất. Tác dụng của việc đó là gì?

Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là một mặt phẳng chứa $a$. Giả sử $(Q)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ (H.4.36).

a) Hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể chéo nhau không?

b) Hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể cắt nhau không?

Trong Ví dụ 4, gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB, \, AD$. Xác định giao tuyến của $(Q)$ với các mặt của tứ diện.

Ví dụ 4. Cho tứ diện $ABCD$, điểm $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB, \, CD$ (H.4.39). Xác định các giao tuyến của $(P)$ và các mặt của tứ diện. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

Giải

Mặt phẳng $(ABC)$ chứa đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng $(P)$ nên mặt phẳng $(ABC)$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến song song với $AB$. Vẽ $EF$ // $AB$ ($F$ thuộc $BC$) thì $EF$ là giao tuyến của $(P)$ và $(ABC)$.

Hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ cùng chứa đường thẳng $CD$ song song với mặt phẳng $(P)$ nên chúng cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến song song với $CD$. Vẽ $EH, \, FG$ song song với $CD$ ($H$ thuộc $AD, \, G$ thuộc $BD$) thì $EH, \, FG$ lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ với hai mặt phẳng $(ACD), \, (BCD)$. Khi đó $GH$ là giao tuyến của $(P)$ và $(ABD)$.

Mặt phẳng $(ABD)$ chứa đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng$(P)$ nên giao tuyến $GH$ của $(ABD)$ và $(P)$ song song với $AB$. Tứ giác $EFGH$ có $EF$ // $GH$ (vì cùng song song với $AB$) và $EH$ // $FG$ (vì cùng song song với $CD$) nên nó là hình bình hành.