Câu hỏi lý thuyết Bài 11 (SGK)

Câu 1

1đ

Cho hai hàm số $f(x) = x^2 + 1$ và $F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + x$ , với $x \in \mathbb{R}$ .

Câu 1:

Đạo hàm của hàm số $F(x)$ là

F'(x) = 3x^2 + 1

.

F'(x) = x^2 + 1

.

F'(x) = x^2 + x

.

F'(x) = \dfrac{1}{3}x^2 + 1

.

Câu 2:

Mối quan hệ giữa $F'(x)$ và $f(x)$ là

F'(x) \lt f(x)

với mọi

x \in \mathbb{R}

.

F'(x) = f(x)

với mọi

x \in \mathbb{R}

.

F'(x) \ne f(x)

với mọi

x \in \mathbb{R}

.

F'(x) > f(x)

với mọi

x \in \mathbb{R}

.

Câu 2

1đ

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ trên khoảng $(0; \, +\infty)$ ?

F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \ln x

vì

F'(x) = f(x)

với mọi

x \in (0; \, +\infty)

.

F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \ln x

vì

F'(1) \ne f(1)

.

G(x) = \dfrac{x^2}{2} - \ln x

vì

G'(1) = f(1)

.

G(x) = \dfrac{x^2}{2} - \ln x

vì

G'(x) = g(x)

với mọi

x \in (0; \, +\infty)

.

Câu 3

1đ

Tự luận

Cho hàm số $f(x) = x^3$ .

a) Chứng minh rằng hàm số $F(x) = \dfrac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ .

b) Hàm số $G(x) = \dfrac{x^4}{4} + C$ (với $C$ là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ không? Vì sao?

Câu 4

1đ

Tính $\displaystyle\int x^3 \mathrm{d}x$ .

\displaystyle\int x^3 \mathrm{d}x = x^4 + C

.

\displaystyle\int x^3 \mathrm{d}x = \dfrac{x^3}{4} + C

.

\displaystyle\int x^3 \mathrm{d}x = 3x^2 + C

.

\displaystyle\int x^3 \mathrm{d}x = \dfrac{x^4}{4} + C

.

Câu 5

1đ

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $K$ , $k$ là một hằng số khác $0$ . Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ .

Câu 1:

Mệnh đề nào sau đây giải thích đúng việc $kF(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $kf(x)$ trên $K$ ?

Vì

\big[kF(x)\big]' = k \cdot F'(x) = kf(x)

với mọi

x \in K

.

Vì

\big[kF(x)\big]' = k' \cdot F(x) + k \cdot F'(x) = kf(x)

với mọi

x \in K

.

Vì

\big[kF(x)\big]' = kF(x) = kf(x)

với mọi

x \in K

.

Vì

\big[kF(x)\big]' = F'(x) = f(x)

với mọi

x \in K

.

Câu 2:

Từ khẳng định trên, đẳng thức nào sau đây đúng?

\displaystyle\int kf(x)\mathrm{d}x \ne k\int f(x)\mathrm{d}x

.

\displaystyle\int kf(x)\mathrm{d}x = k\int f(x)\mathrm{d}x

.

\displaystyle\int kf(x)\mathrm{d}x = k + \int f(x)\mathrm{d}x

.

\displaystyle\int kf(x)\mathrm{d}x = \int f(x)\mathrm{d}x + k

.

Câu 6

1đ

Cho hàm số $f(x) = x^n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ ).

Câu 1:

Mệnh đề nào sau đây giải thích đúng việc hàm số $F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ ?

Vì

F'(x) = \Big(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big)' = nx^{n-1} = f(x)

với mọi

x

.

Vì

F'(x) = \Big(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big)' = x^{n+1} = f(x)

với mọi

x

.

Vì

F'(x) = \Big(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big)' = \dfrac{x^n}{n+1} = f(x)

với mọi

x

.

Vì

F'(x) = \Big(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big)' = \dfrac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n = f(x)

với mọi

x

.

Câu 2:

Từ câu [1p], ta tìm được $\displaystyle\int x^n \mathrm{d}x$ bằng

nx^{n-1} + C

.

\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

.

\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C

.

\dfrac{x^n}{n+1} + C

.

Câu 3:

Từ kết quả câu [2p], giá trị của $\displaystyle\int kx^n \mathrm{d}x$ ( $k$ là hằng số khác $0$ ) là

knx^{n-1} + C

.

k \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C

.

\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C

.

k \dfrac{x^n}{n+1} + C

.

Câu 7

1đ

Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $K$ . Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ , $G(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$ trên $K$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) $\big[F(x) + G(x)\big]' = F'(x) + G'(x)$ .
b) $F(x) + G(x)$ chính là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$ trên $K$ vì $\big[F(x) + G(x)\big]' = f(x) + g(x)$ .
c) $\displaystyle\int \big[f(x) + g(x)\big]\mathrm{d}x = F(x) + G(x) + C$ .
d) $\displaystyle\int \big[f(x) + g(x)\big]\mathrm{d}x \ne \int f(x)\mathrm{d}x + \int g(x)\mathrm{d}x$ .

Câu 8

1đ

Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm, tìm các nguyên hàm sau.

Câu 1:

$\displaystyle\int (3x^2 + 1)\mathrm{d}x$ bằng

6x + C

.

3x^3 + x + C

.

x^3 + x + C

.

x^3 + 1 + C

.

Câu 2:

$\displaystyle\int (2x - 1)^2 \mathrm{d}x$ bằng

\dfrac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C

.

\dfrac{4}{3}x^3 - 4x^2 + x + C

.

\dfrac{1}{3}(2x-1)^3 + C

.

4x^3 - 2x^2 + x + C

.

Câu 9

1đ

Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền $R(x)$ (triệu đồng) thu được khi $x$ đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi $x$ đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số $M_R(x) = R'(x)$ . Một công ty công nghệ cho biết tốc độ biến động của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi $M_R(x) = 300 - 0,1x$ , ở đó $x$ là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán $1 \, 000$ con chíp.

Trả lời: tỉ đồng.

Câu 10

1đ

Bằng cách viết lại các hàm số dưới dạng hàm số luỹ thừa $y = x^\alpha$ ( $x > 0$ ), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau:

Câu 1:

Đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{1}{x^4}$ với $x > 0$ là

y' = \dfrac{1}{4x^3}

.

y' = \dfrac{4}{x^5}

.

y' = -\dfrac{4}{x^5}

.

y' = -\dfrac{4}{x^3}

.

Câu 2:

Đạo hàm của hàm số $y = x^{\sqrt{2}}$ với $x > 0$ là

y' = \sqrt{2}x^{\sqrt{2}+1}

.

y' = \sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1}

.

y' = (\sqrt{2}-1)x^{\sqrt{2}}

.

y' = x^{\sqrt{2}-1}

.

Câu 3:

Đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$ với $x > 0$ là

y' = \dfrac{1}{3x\sqrt[3]{x^2}}

.

y' = -\dfrac{1}{3x\sqrt[3]{x}}

.

y' = -\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x}}

.

y' = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

.

Câu 11

1đ

Câu 1:

Với $\alpha \ne -1$ , đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ ( $x > 0$ ) là

y' = x^{\alpha+1}

.

y' = (\alpha+1)x^\alpha

.

y' = \alpha x^{\alpha-1}

.

y' = x^\alpha

.

Câu 2:

Đạo hàm của hàm số $y = \ln|x|$ ( $x \ne 0$ ) trong hai trường hợp $x > 0$ và $x \lt 0$ là

y' = \dfrac{1}{|x|}

trong cả hai trường hợp.

y' = \dfrac{1}{x}

trong cả hai trường hợp.

y' = -\dfrac{1}{x}

khi

x > 0

và

y' = \dfrac{1}{x}

khi

x \lt 0

.

y' = \dfrac{1}{x}

khi

x > 0

và

y' = -\dfrac{1}{x}

khi

x \lt 0

.

Câu 12

1đ

Tìm các nguyên hàm sau.

Câu 1:

$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^4}\mathrm{d}x$ bằng

-\dfrac{1}{3x^3} + C

.

\dfrac{1}{5x^5} + C

.

-\dfrac{4}{x^5} + C

.

-\dfrac{1}{5x^5} + C

.

Câu 2:

$\displaystyle\int x\sqrt{x}\mathrm{d}x$ ( $x > 0$ ) bằng

\dfrac{3}{2}x^2\sqrt{x} + C

.

\dfrac{5}{2}x^2\sqrt{x} + C

.

\dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C

.

\dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C

.

Câu 3:

$\displaystyle\int \Big(\dfrac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}\Big)\mathrm{d}x$ ( $x > 0$ ) bằng

3\ln x - \dfrac{15}{4}x\sqrt[3]{x} + C

.

3\ln x - \dfrac{20}{3}x\sqrt[3]{x} + C

.

3\ln|x| - \dfrac{5}{4}x\sqrt[3]{x} + C

.

-\dfrac{3}{x^2} - \dfrac{15}{4}x\sqrt[3]{x} + C

.

Câu 13

1đ

Khám phá nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Câu 1:

Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác và kéo thả kết quả thích hợp vào chỗ trống:

Với $F(x) = \sin x$ thì $F'(x) =$ .

Với $F(x) = \cos x$ thì $F'(x) =$ .

Với $F(x) = \tan x$ thì $F'(x) =$ .

Với $F(x) = \cot x$ thì $F'(x) =$ .

-\dfrac{1}{\cos^2 x}

-\dfrac{1}{\sin^2 x}

\dfrac{1}{\cos^2 x}

-\sin x

\cos x

\sin x

-\cos x

\dfrac{1}{\sin^2 x}

(Kéo thả hoặc click vào để điền)

Câu 2:

Sử dụng kết quả phần trước, kéo thả nguyên hàm của các hàm số tương ứng vào chỗ trống:

$\displaystyle\int \cos x \mathrm{d}x =$ .

$\displaystyle\int \sin x \mathrm{d}x =$ .

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x} \mathrm{d}x =$ .

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}x =$ .

-\tan x + C

-\sin x + C

\tan x + C

-\cot x + C

\cot x + C

-\cos x + C

\sin x + C

\cos x + C

(Kéo thả hoặc click vào để điền)

Câu 14

1đ

Tìm các nguyên hàm sau:

Câu 1:

$\displaystyle\int (3\cos x - 4\sin x)\mathrm{d}x$ bằng

3\sin x - 4\cos x + C

.

3\cos x + 4\sin x + C

.

-3\sin x + 4\cos x + C

.

3\sin x + 4\cos x + C

.

Câu 2:

$\displaystyle\int \Big(\dfrac{1}{\cos^2 x} - \dfrac{1}{\sin^2 x}\Big)\mathrm{d}x$ bằng

-\tan x - \cot x + C

.

\tan x - \cot x + C

.

-\tan x + \cot x + C

.

\tan x + \cot x + C

.

Câu 15

1đ

Khám phá nguyên hàm của hàm số mũ.

Câu 1:

Tính đạo hàm của các hàm số sau và kéo thả kết quả tương ứng vào chỗ trống:

⚡Với $F(x) = \mathrm{e}^x$ thì $F'(x) =$ .

⚡Với $F(x) = \dfrac{a^x}{\ln a}$ ( $0 \lt a \ne 1$ ) thì $F'(x) =$ .

a^x

\mathrm{e}^x

x\mathrm{e}^{x-1}

a^x \ln a

(Kéo thả hoặc click vào để điền)

Câu 2:

Sử dụng kết quả ở câu [1p], kéo thả nguyên hàm của các hàm số tương ứng vào chỗ trống:

⚡ $\displaystyle\int \mathrm{e}^x \mathrm{d}x =$ .

⚡ $\displaystyle\int a^x \mathrm{d}x =$ .

\dfrac{a^x}{\ln a} + C

\mathrm{e}^x + C

\dfrac{\mathrm{e}^{x+1}}{x+1} + C

a^x \ln a + C

(Kéo thả hoặc click vào để điền)

Câu 16

1đ

Tìm các nguyên hàm sau.

Câu 1:

$\displaystyle\int 4^x\mathrm{d}x$ bằng

4^x + C

.

\dfrac{4^x}{\ln 4} + C

.

\dfrac{4^{x+1}}{x+1} + C

.

4^x \ln 4 + C

.

Câu 2:

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x$ bằng

\dfrac{1}{\mathrm{e}^x} + C

.

-\dfrac{1}{\mathrm{e}^x} + C

.

\ln|\mathrm{e}^x| + C

.

-\mathrm{e}^x + C

.

Câu 3:

$\displaystyle\int \Big(2 \cdot 3^x - \dfrac{1}{3} \cdot 7^x\Big)\mathrm{d}x$ bằng

2 \dfrac{3^{x+1}}{x+1} - \dfrac{1}{3} \dfrac{7^{x+1}}{x+1} + C

.

2 \dfrac{3^x}{\ln 3} - \dfrac{1}{3} \dfrac{7^x}{\ln 7} + C

.

\dfrac{3^x}{\ln 3} - \dfrac{7^x}{\ln 7} + C

.

2 \cdot 3^x \ln 3 - \dfrac{1}{3} \cdot 7^x \ln 7 + C

.

Bài học liên quan

Câu hỏi lý thuyết Bài 11 (SGK)

Báo lỗi