Quay lại giao diện cũ
Các bài toán bất đẳng thức khác
Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh rằng
\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{36}{3a+2b+c}\).
Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức cần chứng minh suy trực tiếp từ bất đẳng thức sau:
\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+...+\dfrac{1}{x_6}\ge\dfrac{36}{x_1+x_2+x_3+...+x_6}\) (1)
với mọi bộ 6 số dương \(x_1,x_2,...,x_6\).
Để chứng minh (1), ta chú ý rằng
\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}\ge\dfrac{9}{x_1+x_2+x_3}\)
và \(\dfrac{1}{x_4}+\dfrac{1}{x_5}+\dfrac{1}{x_6}\ge\dfrac{9}{x_4+x_5+x_6}\)
Suy ra
\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+...+\dfrac{1}{x_6}\ge9\left(\dfrac{1}{x_1+x_2+x_3}+\dfrac{1}{x_4+x_5+x_6}\right)\)
\(\ge9.\dfrac{4}{\left(x_1+x_2+x_3\right)+\left(x_4+x_5+x_6\right)}\)
tức là \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+...+\dfrac{1}{x_6}\ge\dfrac{36}{x_1+x_2+x_3+...+x_6}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=x_2=x_3\\x_4=x_5=x_6\\x_1+x_2+x_3=x_4+x_5+x_6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x_1=x_2=...=x_6\)
Cho \(a,b,c\) là ba số dương tùy ý.
1) Chứng minh rằng \(\dfrac{a^5}{bc}+\dfrac{b^5}{ca}+\dfrac{c^5}{ab}\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)\).
2) Chứng minh rằng nếu \(a,b,c\) thỏa mãn thêm điều kiện \(abc\le\dfrac{1}{3}\) thì
\(\dfrac{a^5}{bc}+\dfrac{b^5}{ca}+\dfrac{c^5}{ab}\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\).
Hướng dẫn giải
1) Có \(\dfrac{a^5}{bc}=\dfrac{a^6}{abc}=\dfrac{\left(a^3\right)^2}{abc}\)
Nên
\(\dfrac{a^5}{bc}+\dfrac{b^5}{ca}+\dfrac{c^5}{ab}=\dfrac{\left(a^3\right)^2}{abc}+\dfrac{\left(b^3\right)^2}{abc}+\dfrac{\left(c^3\right)^2}{abc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc+abc+abc}\)
\(=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3abc}.\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
(vì \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) )
2) Do giả thiết \(abc\le\dfrac{1}{3}\) suy ra
\(\dfrac{a^5}{bc}=\dfrac{a^6}{abc}\ge\dfrac{a^6}{\dfrac{1}{3}}=3a^6\)
Do đó
\(\dfrac{a^5}{bc}+\dfrac{b^5}{ca}+\dfrac{c^5}{ab}\ge3\left(a^6+b^6+c^6\right)\)
\(=3\left(\left(a^3\right)^2+\left(b^3\right)^2+\left(c^3\right)^2\right)\)
\(\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\)
Vậy \(\dfrac{a^5}{bc}+\dfrac{b^5}{ca}+\dfrac{c^5}{ab}\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\)
Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện
\(x+y+z+xy+yz+zx=6\)
Chứng minh rằng \(x^2+y^2+z^2\ge3\).
Hướng dẫn giải
- Ta đã biết \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
và \(x+y+z\le\dfrac{x^2+1}{2}+\dfrac{y^2+1}{2}+\dfrac{z^2+1}{2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}+\dfrac{3}{2}\)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức này và chú ý dùng giả thiết ta suy ra
\(6\le\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\dfrac{3}{2}\)
hay \(x^2+y^2+z^2\ge3\).
Cho \(x,y\) là hai số dương tùy ý. Chứng minh rằng
\(x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}\ge3\sqrt{2}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{9}{2x+y+y}\)
Do đó \(x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{y}\ge\left(x+y\right)+\dfrac{9}{2\left(x+y\right)}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\dfrac{9}{2\left(x+y\right)}}=3\sqrt{2}\)