CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Căn thức bậc hai

- Căn bậc hai của số thực $a$ là số thực $x$ sao cho $x^2 = a$.

- Cho số thực $a$ không âm. Căn bậc hai số học của $a$ kí hiệu là $\sqrt{a}$ là một số thực không âm $x$ mà bình phương của nó bằng $a$:

$\begin{cases} a \ge 0 \\ \sqrt{a} = x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 = a \end{cases}$

- Với hai số thực không âm $a, \, b$ ta có: $\sqrt{a} \le \sqrt{b} \Leftrightarrow a \le b$.

- Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc hai, ta cần lưu ý:

+ $\sqrt{A^2} = |A| = \begin{cases} A \text{ nếu } A \ge 0 \\ -A \text{ nếu } A < 0 \end{cases}$

+ $\sqrt{A^2B} = |A|\sqrt{B} = A\sqrt{B}$ với $A, \, B \ge 0$; $\sqrt{A^2B} = |A|\sqrt{B} = -A\sqrt{B}$ với $A < 0, \, B \ge 0$.

+ $\sqrt{\dfrac{A}{B}} = \sqrt{\dfrac{A \cdot B}{B^2}} = \dfrac{\sqrt{A \cdot B}}{|B|}$ với $AB \ge 0, \, B \ne 0$.

+ $\dfrac{M}{\sqrt{A}} = \dfrac{M \cdot \sqrt{A}}{A}$ với $A > 0$ (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu).

+ $\dfrac{M}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \dfrac{M(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B}$ với $A, \, B \ge 0, \, A \ne B$ (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu).

2. Căn thức bậc ba, bậc $n$

a) Căn thức bậc 3

- Căn bậc $3$ của một số $a$ kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số $x$ sao cho $x^3 = a$.

- Cho $a \in \mathbb{R}$, ta có $\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow x^3 = (\sqrt[3]{a})^3 = a$.

- Mỗi số thực $a$ đều có duy nhất một căn bậc $3$.

- Nếu $a > 0$ thì $\sqrt[3]{a} > 0$.

- Nếu $a < 0$ thì $\sqrt[3]{a} < 0$.

- Nếu $a = 0$ thì $\sqrt[3]{a} = 0$.

- $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ với mọi $b \ne 0$.

- $\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$ với mọi $a, \, b$.

- $a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$.

- $A\sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{A^3B}$.

- $\sqrt[3]{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{\sqrt[3]{AB^2}}{B}$ với $B \ne 0$.

- $\dfrac{\sqrt[3]{A}}{B} = \sqrt[3]{\dfrac{A}{B^3}}$.

- $\dfrac{1}{\sqrt[3]{A} \pm \sqrt[3]{B}} = \dfrac{\sqrt[3]{A^2} \mp \sqrt[3]{AB} + \sqrt[3]{B^2}}{A \pm B}$ với $A \ne \mp B$.

b) Căn thức bậc $n$

Cho số $a \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{N}, \, n \ge 2$. Căn bậc $n$ của một số $a$ là một số mà lũy thừa bậc $n$ của nó bằng $a$.

- Trường hợp $n$ là số lẻ: $n = 2k + 1, \, k \in \mathbb{N}$.

Mọi số thực $a$ đều có một căn bậc lẻ duy nhất: $\sqrt[2k+1]{a} = x \Leftrightarrow x^{2k+1} = a$.

Nếu $a > 0$ thì $\sqrt[2k+1]{a} > 0$; nếu $a < 0$ thì $\sqrt[2k+1]{a} < 0$; nếu $a = 0$ thì $\sqrt[2k+1]{a} = 0$.

- Trường hợp $n$ là số chẵn: $n = 2k, \, k \in \mathbb{N}^*$.

Mọi số thực $a > 0$ đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là $\sqrt[2k]{a}$ (gọi là căn bậc $2k$ số học của $a$). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là $-\sqrt[2k]{a}$.

$\sqrt[2k]{a} = x \Leftrightarrow x \ge 0$ và $x^{2k} = a$.

$-\sqrt[2k]{a} = x \Leftrightarrow x \le 0$ và $x^{2k} = a$.

B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TIÊU BIỂU

Dạng 1: Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị các biểu thức

Phương pháp giải:

Biến đổi các biểu thức trong dấu căn về dạng $\sqrt{A^2} = |A|$ sau đó dựa vào dấu của $A$ để mở dấu giá trị tuyệt đối nếu có.

Ngoài ra cần nắm được các đẳng thức cơ bản quen thuộc:

- $ab + bc + ca = m \Rightarrow a^2 + m = a^2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c)$;

- $a + b + c = n \Rightarrow na + bc = (a + b + c)a + bc = (a + b)(a + c)$;

- Với $abc = 1$ thì $\dfrac{1}{a + ab + 1} + \dfrac{1}{b + bc + 1} + \dfrac{1}{ca + c + 1} = 1$;

- Nếu $a + b + c = 0$ thì $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$, $\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} = \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right)^2$ với $abc \ne 0$.

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{x} + \dfrac{1}{4}}$ khi $x \ge 0$.

Lời giải:

$A = \sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{x} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{x} - \sqrt{\Big(\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\Big)^2}$

$= \sqrt{x} - \Big|\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\Big|$

+ Nếu $\sqrt{x} \ge \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}$ thì $\Big|\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\Big| = \sqrt{x} - \dfrac{1}{2} $

$\Rightarrow A = \sqrt{x} - \Big(\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\Big) = \dfrac{1}{2}$.

+ Nếu $\sqrt{x} < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le x < \dfrac{1}{4}$ thì $\Big|\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\Big| = -\sqrt{x} + \dfrac{1}{2} $

$\Rightarrow A = \sqrt{x} - \Big(-\sqrt{x} + \dfrac{1}{2}\Big) = 2\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}$.

Dạng 2: Các câu hỏi liên quan giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số

Phương pháp giải:

Để giải quyết các bài tập dạng này, ta cần chú ý các tính chất cơ bản với số thực $A, \, B \ge 0$:

+ $\sqrt{A} \ge 0$.

+ $A + B \ge 2\sqrt{A \cdot B}$ (Bất đẳng thức AM-GM). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A = B$.

+ $\sqrt{A^2 + B^2} + \sqrt{C^2 + D^2} \ge \sqrt{(A + C)^2 + (B + D)^2}$ với các số thực $A, \, B, \, C, \, D \ge 0$.

+ $(A + B)^2 \le 2(A^2 + B^2)$; $(A + B)^3 \le 4(A^3 + B^3)$ với $A, \, B \ge 0$.

Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$.

Lời giải:

Điều kiện: $x \ge 0$. Ta viết lại $A = \dfrac{2(\sqrt{x} + 1) - 1}{\sqrt{x} + 1} = 2 - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}$.

Vì $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \ge 1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} \le 1$.

Dẫn đến $A \ge 2 - 1 = 1$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = 0$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $1$.

Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên

Phương pháp giải:

+ Đối với các biểu thức $P = A + \dfrac{B}{C}$ với $A, \, B$ là số nguyên, $C$ nhận giá trị nguyên hoặc vô tỉ thì $P$ nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi $C$ là số nguyên và $C$ là ước số của $B$.

+ Đối với các biểu thức $P = A + \dfrac{B}{C}$ với $A, \, B$ là số hữu tỉ, $C$ nhận giá trị thực. Ta thường tìm cách đánh giá $P$, tức là chặn $P$ theo kiểu $M \le P \le N$, từ đó suy ra các giá trị có thể của $P$. Hoặc ta tìm điều kiện của $P$ để tồn tại biến $x, \, y \dots$ thỏa mãn yêu cầu bài toán từ đó suy ra các giá trị nguyên có thể của $P$.

+ Đối với các bài toán tổng hợp, học sinh cần chú ý điều kiện ban đầu để loại các giá trị không thỏa mãn.

Ví dụ 3. Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P = \dfrac{2\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 1}$ là số nguyên.

Lời giải:

Điều kiện: $x \ge 0$. Ta viết lại $P = \dfrac{2(\sqrt{x} + 1) + 3}{\sqrt{x} + 1} = 2 + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$.

Do $x$ là số nguyên nên $\sqrt{x} + 1$ nhận giá trị nguyên hoặc vô tỉ.

Suy ra $P$ là số nguyên khi và chỉ khi $\sqrt{x} + 1$ là số nguyên và $\sqrt{x} + 1$ là ước nguyên dương của $3$.

Chú ý $\sqrt{x} + 1 \ge 1 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \in \{1; \, 3\} $

$\sqrt{x} \in \{0; \, 2\} $

$x \in \{0; \, 4\}$.

Vậy $x \in \{0; \, 4\}$ thì $P$ nhận giá trị nguyên.

Dạng 4: Bài toán tổng hợp

Ví dụ 4. Cho $A = \dfrac{x - 2}{2 + \sqrt{x}}$ với $x \ge 0$, và $B = \left(\dfrac{8x\sqrt{x} - 1}{2x - \sqrt{x}} - \dfrac{8x\sqrt{x} + 1}{2x + \sqrt{x}}\right) : \dfrac{2x + 1}{2x - 1}$ với $x > 0, \, x \ne \dfrac{1}{4}, \, x \ne \dfrac{1}{2}$.

a) Chứng minh khi $x = 3 + 2\sqrt{2}$ thì $A = \dfrac{5\sqrt{2} - 1}{7}$.

b) Rút gọn $B$ và tìm $x$ để $\dfrac{A}{B} = \dfrac{x - 2}{4\sqrt{x}}$.

Lời giải:

a) Ta có $x = 3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)^2 \Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{2} + 1$. Thay vào $A$ ta có:

$A = \dfrac{3 + 2\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 1 + 2} = \dfrac{2\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 3}$

$= \dfrac{(2\sqrt{2} + 1)(3 - \sqrt{2})}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})} = \dfrac{6\sqrt{2} - 4 + 3 - \sqrt{2}}{9 - 2}$

$= \dfrac{5\sqrt{2} - 1}{7}$.

b) Ta có:

$B = \Big(\dfrac{8x\sqrt{x} - 1}{2x - \sqrt{x}} - \dfrac{8x\sqrt{x} + 1}{2x + \sqrt{x}}\Big) : \dfrac{2x + 1}{2x - 1}$

$= \Big[\dfrac{(2\sqrt{x} - 1)(4x + 2\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1)} - \dfrac{(2\sqrt{x} + 1)(4x - 2\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}\Big] : \dfrac{2x + 1}{2x - 1}$

$= \Big(\dfrac{4x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - \dfrac{4x - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}\Big) : \dfrac{2x + 1}{2x - 1}$

$= \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}} : \dfrac{2x + 1}{2x - 1}$

$= 4 \cdot \dfrac{2x - 1}{2x + 1} = \dfrac{4(2x - 1)}{2x + 1}$.

Suy ra $\dfrac{A}{B} = \dfrac{x - 2}{\sqrt{x} + 2} : \dfrac{4(2x - 1)}{2x + 1} = \dfrac{(x - 2)(2x + 1)}{4(\sqrt{x} + 2)(2x - 1)}$.

Yêu cầu bài toán tương đương với:

$\dfrac{(x - 2)(2x + 1)}{4(\sqrt{x} + 2)(2x - 1)} = \dfrac{x - 2}{4\sqrt{x}} \Leftrightarrow (x - 2)\Big[\dfrac{2x + 1}{(\sqrt{x} + 2)(2x - 1)} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}\Big] = 0$.

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 2 \\ \dfrac{2x + 1}{(\sqrt{x} + 2)(2x - 1)} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0 \quad (*) \end{bmatrix}$.

Giải $(*)$: $\sqrt{x}(2x + 1) = (\sqrt{x} + 2)(2x - 1) \Leftrightarrow 2x\sqrt{x} + \sqrt{x} = 2x\sqrt{x} - \sqrt{x} + 4x - 2$

$\Leftrightarrow 4x - 2\sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x - \sqrt{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1)(2\sqrt{x} + 1) = 0$.

Vì $2\sqrt{x} + 1 > 0$ nên $\sqrt{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1$.

Đối chiếu với điều kiện bài toán, ta thấy $x = 1$ và $x = 2$ đều thỏa mãn.