Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (SGK) SVIP

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu $20$ triệu đồng. Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Hoạt động 1. Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ là số vé loại 1 bán được và $y$ là số vé loại 2 bán được.

Mỗi hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ thu được trong HĐ1a và HĐ1b được gọi là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ có dạng tổng quát là:

$ax + by \le c$ (hoặc $ax + by \ge c$, $ax + by < c$, $ax + by > c$)

trong đó $a$, $b$, $c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$; $x$ và $y$ là các ẩn số.

Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

$2x + 3y < 1$; $2x^2 + 3y < 1$.

Giải:

Bất phương trình $2x + 3y < 1$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình $2x^2 + 3y < 1$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa $x^2$.

Hoạt động 2. Trong hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn thu được ở HĐ1:

Cặp số $(x_0; y_0)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by \le c$ nếu bất đẳng thức $ax_0 + by_0 \le c$ đúng.

Ví dụ 2. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + 2y > 5$. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên?

a) $(x; y) = (3; 4)$; b) $(x; y) = (0; -1)$.

Giải:

a) Vì $3 + 2 . 4 = 11 > 5$ nên cặp số $(3; 4)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Vì $0 + 2 . (-1) = -2 < 5$ nên cặp số $(0; -1)$ không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Luyện tập 1. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + 2y \ge 0$.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

Hoạt động 3. Cho đường thẳng $d: 2x - y = 4$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (Hình 2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

▪️Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình $ax + by \le c$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

▪️Người ta chứng minh được rằng đường thẳng $d$ có phương trình $ax + by = c$ chia mặt phẳng toạ độ $Oxy$ thành hai nửa mặt phẳng bờ $d$:

- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ $d$) gồm các điểm có toạ độ $(x; y)$ thoả mãn $ax + by > c$;

- Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ $d$) gồm các điểm có toạ độ $(x; y)$ thoả mãn $ax + by < c$.

Bờ $d$ gồm các điểm có toạ độ $(x; y)$ thoả mãn $ax + by = c$.

Ví dụ 3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x + y \ge 100$ trên mặt phẳng toạ độ.

Giải (Hình 2.2):

Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + y \ge 100$ như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d$: $x + y = 100$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Bước 2. Lấy một điểm bất kì không thuộc $d$ trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức $x + y$. Chẳng hạn, lấy $O(0; 0)$, ta có: $0 + 0 < 100$.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc toạ độ (miền không bị gạch).

Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by \le c$:

▪️Vẽ đường thẳng $d$: $ax + by = c$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

▪️Lấy một điểm $M_0(x_0; y_0)$ không thuộc $d$.

▪️Tính $ax_0 + by_0$ và so sánh với $c$.

▪️Nếu $ax_0 + by_0 < c$ thì nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu $ax_0 + by_0 > c$ thì nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình.

Lưu ý:

▪️Nếu $c \ne 0$, ta thường chọn $M_0$ chính là gốc toạ độ.

▪️Nếu $c = 0$, ta thường chọn $M_0$ có toạ độ $(1; 0)$ hoặc $(0; 1)$.

Ví dụ 4. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $5x - 7y \le 0$ trên mặt phẳng toạ độ.

Giải (Hình 2.3):

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d$: $5x - 7y = 0$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Bước 2. Lấy điểm $M_0(0; 1)$ không thuộc $d$ và thay $x = 0$, $y = 1$ vào biểu thức $5x - 7y$ ta được: $5.0 - 7.1 = -7 < 0$.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $M_0$ (miền không bị gạch).

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình $ax + by < c$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by \le c$ bỏ đi đường thẳng $ax + by = c $ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Luyện tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x + y < 200$ trên mặt phẳng toạ độ.

Bấm chọn miền nghiệm (phần tô màu):

Ví dụ 5. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Giải:

Gọi $x$ là số lượng vé loại 1 bán được ($x \in \mathbb{N}$) và $y$ là số lượng vé loại 2 bán được ($y \in \mathbb{N}$) thì số tiền bán vé thu được là $50x + 100y$ (nghìn đồng). Người ta sẽ phải bù lỗ trong trường hợp số tiền bán vé nhỏ hơn $20$ triệu đồng, tức là: $50x + 100y < 20\,000$ hay $x + 2y < 400$.

Như vậy, việc giải quyết bài toán mở đầu dẫn đến việc đi tìm miền nghiệm của bất phương trình $x + 2y < 400$.

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau:

- Vẽ đường thẳng $d$: $x + 2y = 400$.

- Ta lấy gốc toạ độ $O(0; 0)$ và tính $0 + 2.0 = 0 < 400$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc toạ độ không kể đường thẳng $d$ (Hình 2.4).

Vậy, nếu bán được số vé loại 1 là $x$ và số vé loại 2 là $y$ mà điểm $(x; y)$ nằm trong miền tam giác $OAB$ không kể cạnh $AB$ thì rạp chiếu phim sẽ phải bù lỗ.

Nếu điểm $(x; y)$ nằm trên đoạn thẳng $AB$ thì rạp chiếu phim hoà vốn.

Nhận xét:

▪️Nếu bán được $150$ vé loại 1 và $150$ vé loại 2 thì rạp chiếu phim có lãi.

▪️Nếu bán được $200$ vé loại 1 và $100$ vé loại 2 thì rạp chiếu phim hoà vốn.

▪️Nếu bán được $100$ vé loại 1 và $100$ vé loại 2 thì rạp chiếu phim phải bù lỗ.

Vận dụng. Một công ty viễn thông tính phí $1$ nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và $2$ nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng.