BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ

I. KHÁI NIỆM BẤT ĐẲNG THỨC

1. Định nghĩa

Số $a$ gọi là lớn hơn số $b$, kí hiệu $a > b$ nếu $a - b$ là một số dương, tức là $a - b > 0$. Khi đó ta cũng kí hiệu $b < a$.

Ta có: $a > b \Leftrightarrow a - b > 0$

Nếu $a > b$ hoặc $a = b$, ta viết $a \geq b$. Ta có: $a \geq b \Leftrightarrow a - b \geq 0$

2. Quy ước

- Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.

- Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

1. Tính chất 1: $\begin{cases} a > b \\ b > c \end{cases} \Rightarrow a > c$

2. Tính chất 2: $a > b \Leftrightarrow a + c > b + c$

Từ đó ta suy ra:

$a > b \Leftrightarrow a - c > b - c$

$a + c > b \Leftrightarrow a > b - c$

3. Tính chất 3: $\begin{cases} a > b \\ c > d \end{cases} \Rightarrow a + c > b + d$

4. Tính chất 4: $a > b \Rightarrow \begin{cases} ac > bc \text{ nếu } c > 0 \\ ac < bc \text{ nếu } c < 0 \end{cases}$

Từ đó ta suy ra:

$a > b \Leftrightarrow -a < -b$

$a > b \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c} \text{ nếu } c > 0 \\ \dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c} \text{ nếu } c < 0 \end{cases}$

5. Tính chất 5: $\begin{cases} a > b > 0 \\ c > d > 0 \end{cases} \Rightarrow ac > bd$

6. Tính chất 6: $a > b > 0 \Leftrightarrow 0 < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

7. Tính chất 7: $a > b > 0, n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow a^n > b^n$

8. Tính chất 8: Nếu $a$ và $b$ là hai số dương thì: $a > b \Leftrightarrow a^2 > b^2$. Nếu $a$ và $b$ là hai số không âm thì: $a \geq b \Leftrightarrow a^2 \geq b^2$.

CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA

Phương pháp giải

So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ. Nếu muốn chứng minh lớn hơn một giá trị $k$ nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn và ngược lại.

Bài 1. Chứng tỏ rằng: $A = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \dots + \dfrac{1}{2020^2} < 1$

Lời giải

Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng $A$ như sau:

$A = \dfrac{1}{2 \cdot 2} + \dfrac{1}{3 \cdot 3} + \dfrac{1}{4 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{2020 \cdot 2020}$

Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn.

$A < \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{2019 \cdot 2020}$

$A < \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right) + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} \right) + \dots + \left( \dfrac{1}{2019} - \dfrac{1}{2020} \right)$

$A < \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2020} < 1$

Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN

Phương pháp giải

Với tổng phân số tự nhiên, ta nên làm theo cách nhóm đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường.

Bài 2. Chứng tỏ rằng: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{144} + \dfrac{1}{196} < \dfrac{1}{2}$.

Lời giải

Ta có:

$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{144} + \dfrac{1}{196}$

$= \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{4^2} + \dfrac{1}{6^2} + \dots + \dfrac{1}{14^2}$

$= \dfrac{1}{2^2} \left( \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dots + \dfrac{1}{7^2} \right)$

$< \dfrac{1}{2^2} \left( \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \dfrac{1}{6 \cdot 7} \right)$

$= \dfrac{1}{4} \left( 1 + 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{7} \right)$

$= \dfrac{1}{4} \left( 2 - \dfrac{1}{7} \right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{28} < \dfrac{1}{2}$

Vậy $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{144} + \dfrac{1}{196} < \dfrac{1}{2}$.

Dạng 3: TÍCH CỦA MỘT DÃY

Phương pháp giải

Với dạng tích ta sử dụng tính chất: $\dfrac{a}{b} < 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{a+m}{b+m}$ với $m > 0$ và ngược lại.

Bài 3. Cho $A = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{10}{12} \dots \dfrac{208}{210}$. Chứng minh rằng $A < \dfrac{1}{25}$.

Lời giải

Ta thấy $A$ có dạng $\dfrac{n}{n+2} < 1 \Rightarrow \dfrac{n}{n+2} < \dfrac{n-1}{n+1} < \dfrac{n-1}{n}$,

$A < \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{6}{7} \dots \dfrac{207}{208}$

$\Rightarrow A^2 < \dfrac{(1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 10 \dots 208)(1 \cdot 3 \cdot 6 \dots 207)}{(3 \cdot 6 \cdot 9 \dots 210)(3 \cdot 4 \cdot 7 \dots 208)}$

$\Rightarrow A^2 < \dfrac{1}{3 \cdot 210} = \dfrac{1}{630} < \dfrac{1}{625}$

$\Rightarrow A < \dfrac{1}{25}$

Dạng 4: BẤT ĐẲNG THỨC CHỮ

Phương pháp giải

Với các dạng bài toán chứng minh bất đẳng thức chữ, ta thường sử dụng tính chất: $\dfrac{a}{b} < 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{a+m}{b+m}$ ($m > 0$) hoặc ngược lại và đưa về cùng mẫu.

Bài 4. Cho $a, b, c > 0$, chứng tỏ rằng: $M = \dfrac{a}{a+b} + \dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a}$ có giá trị không nguyên.

Lời giải

Ta có:

$\dfrac{a}{a+b} > \dfrac{a}{a+b+c} \quad ; \quad \dfrac{a}{a+b} < \dfrac{a+c}{a+b+c}$

$\dfrac{b}{b+c} > \dfrac{b}{a+b+c} \quad ; \quad \dfrac{b}{b+c} < \dfrac{b+a}{a+b+c}$

$\dfrac{c}{c+a} > \dfrac{c}{a+b+c} \quad ; \quad \dfrac{c}{c+a} < \dfrac{c+b}{a+b+c}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:

$\dfrac{a}{a+b+c} + \dfrac{b}{a+b+c} + \dfrac{c}{a+b+c} < M < \dfrac{a+b}{a+b+c} + \dfrac{b+c}{a+b+c} + \dfrac{c+a}{a+b+c}$

Hay $1 < M < 2$.

Vậy $M$ không có giá trị nguyên.