Cho parabol $(P): y=x^{2}$, đường thẳng $(d): y=m x+3-m$ và điểm $M(1 ; \, 3)$ thuộc $(d)$.

Cho hàm số $y=f(x)=a x^2$.

Trong mặt phẳng cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=(m-2) x+3$.

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho parabol $(P): y=x^2$, đường thẳng $(d): y=m x+3-m$ và $M(1 ; 3) \in(d)$.

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=m x+4$.

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=\dfrac{-x^2}{2}$. Gọi $(d)$ là đường thẳng đi qua $I(0 ; -2)$ và có hệ số góc $k$.

Cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=m x-2$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1, \, x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là $\sqrt{5}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho parabol $(P): y=-\dfrac{1}{2} x^2$, điểm $M(m ; 0)$ với $m$ là tham số khác $0$ và điểm $I(0 ; -2)$.

Cho hàm số $y=\dfrac{1}{2} x^2$ có đồ thị $(P)$ và điểm $A(2 ; 2)$. Gọi $d_{m}$ là đường thẳng qua $A$ có hệ số góc $m$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $d_{m}$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm $A$ và $B$, đồng thời cắt trục $O x$ tại điểm $C$ sao cho $A B=3 A C$.

Cho trước $p$ là số nguyên tố. Trên mặt phẳng tọa độ $O x y$, lấy hai điểm $A\Big(p^{8} ; 0\Big)$ và $B\Big(p^{9} ; 0\Big)$ thuộc trục $O x$. Có bao nhiêu tứ giác $A B C D$ nội tiếp sao cho các điểm $C, \, D$ thuộc trục $O y$ và đều có tung độ là các số nguyên dương.

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho hai đường thẳng $(d_1): y=m^2 x-m^{4}+2$ và $(d_2): y=\dfrac{m^2}{m^2+1} x+2$ ($m$ là tham số thực khác $0$). Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để $(d_1)$ và $(d_2)$ cắt nhau tại một điểm $A$ duy nhất sao cho diện tích của hình thang $A B H K$ bằng $\dfrac{15}{2}$. Biết $B(-1 ; 2)$ và hai điểm $H, \, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ và $A$ lên trục hoành.

Cho parabol $(P): y=2 x^2$, các đường thẳng $(d_1): y=-\dfrac{1}{4} x$. Viết phương trình đường thẳng $(d_2)$, biết $d_{2}$ vuông góc với $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, \, B$ sao cho $\sqrt{5} A B=\sqrt{17} O I$, với $I$ là trung điểm của đoạn $A B$.

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1 ; 2)$ và cắt hai tia $O x, \, O y$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$ khác gốc tọa độ $O$ mà thỏa mãn $O A+O B=6$.

Cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=m x+1$ ($m$ là tham số thực). Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, \, B$ thỏa mãn $A B=\sqrt{10}$.

Tìm $m$ để đường thẳng $y=x+m^2+2$ và đường thẳng $y=(m-2) x+11$ cắt nhau tại $1$ điểm trên trục tung.

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho $(P): y=x^2$ và $(d): y=m, \, \Big(d'\Big): y=m^2$ ($0 \lt m \lt 1$). Đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, \, B$, đường thẳng $d'$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $C, \, D$ (hoành độ $A$ và $D$ âm). Tìm $m$ sao cho diện tích tứ giác $A B C D$ gấp $9$ lần diện tích tam giác $O C D$.

Trên hệ trục tọa độ $O x y$ (cách chọn đơn vị trên hai trục tọa độ như nhau), cho đường thẳng $(d)$ có hệ số góc là $-\dfrac{4}{3}$ và đường thẳng $(d)$ đi qua $A(3 ; 4)$. Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $(d)$.

Cho đường thẳng $(d): y=a x+b$. Tìm $a, \, b$ biết đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với parabol $(P): y=x^2$ tại điểm $A(-1 ; 1)$.

Cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=x+2$.

Trên hệ trục tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P): y=-x^2$ và đường thẳng $(d): y=2x-m^2+1$. Với giá trị nào của $m$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt $D, \, E$ sao cho khoảng cách từ $D$ đến trục $Oy$ bằng khoảng cách từ $E$ đến trục $Oy$.