Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:

Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:

Cho hai đường thẳng $(d_1): m x+(m-1) y-2 m+1=0, \, (d_2):(1-m) x+m y-4 m+1=0$.

Xét parabol $(P): y=x^2$.

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho parabol $(P): y=x^2$, trên $(P)$ lấy hai điểm $A(-1 ; 1), B(3 ; 9)$.

Cho các số thực $x, \, y, \, z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=1$. Tìm GTLN của biểu thức: $P=9 x y+10 y z+11 z x$.

Cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=m x+1$.

Cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=m x+4$.

Cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=m x+1$.

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho đường thẳng $(d): y=\dfrac{-1}{2\,020} x+\dfrac{3}{2\,020}$ và parabol $(P): y=2 x^2$. Biết đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $B$ và $C$. Tìm tọa độ điểm $A$ trên trục hoành để $|A B-A C|$ lớn nhất.

Trên mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P): y=\dfrac{1}{2} x^2$ và đường thẳng $(d): y=\dfrac{1}{2} x+3$. Gọi $A\Big(x_{A} ; y_{A}\Big), \, B\Big(x_{B} ; y_{B}\Big)$ (với $x_{A} \lt x_{B}$) là các giao điểm của $(P)$ và $(d)$, $C\Big(x_{C} ; y_{C}\Big)$ là điểm thuộc $(P)$ sao cho $x_{A} \lt x_{C} \lt x_{B}$. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $A B C$.

Cho parabol $(P): y=2 a x^2 \, (a \gt 0)$ và đường thẳng $d: y=4 x-2 a^2$. Tìm $a$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $M, \, N$ có hoành độ $x_{M}, \, x_{N}$ sao cho $K=\dfrac{8}{x_{M}+x_{N}}+\dfrac{1}{2 x_{M} x_{N}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số $y=a x+b$ ($a \neq 0$) có đồ thị $(d)$. Lập phương trình đường thẳng $(d)$, biết $(d)$ đi qua điểm $A(1 ; 2)$ và cắt trục hoành tại điểm $B$ có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm $C$ có tung độ dương và thỏa mãn $O B+O C$ nhỏ nhất ($O$ là gốc tọa độ).

Cho parabol $(P): y=\dfrac{1}{4} x^2$ và đường thẳng $d: y=\dfrac{11}{8} x-\dfrac{3}{2}$. Gọi $A, \, B$ là các giao điểm của $(P)$ và $d$. Tìm tọa độ điểm $C$ trên trục tung sao cho $C A+C B$ có giá trị nhỏ nhất.

Cho parabol $(P): y=\dfrac{1}{2} x^2$ và đường thẳng $d: y=(m+1) x-m^2-\dfrac{1}{2}$. Với giá trị nào của $m$ thì $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\Big(x_1 ; y_1\Big), \, B\Big(x_2 ; y_2\Big)$ sao cho biểu thức $T=y_1+y_2-x_1 x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.