Cho phương trình $x^2-mx-8=0$. Chứng minh với mọi $m$, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,\,x_2$ và tính giá trị của biểu thức $H=\dfrac{2x_1^2+5x_1-16}{3x_1}-\dfrac{2x_2^2+5x_2-16}{3x_2}$.

Cho phương trình $2 x^2-4 x-3=0$ có hai nghiệm $x_1, \, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A=(x_1-x_2)^2$.

Cho phương trình $x^2+3 x-1=0$ (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,\, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $T=\dfrac{3|x_1-x_2|}{x_1^2 x_2+x_1 x_2^2}$.

Chứng tỏ phương trình $x^2+7x-5=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $M=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$.

Chứng minh phương trình $x^2-12 x+35=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A=x_1^2+x_2^2+x_1 x_2$.

Cho phương trình bậc hai $x^2-3 x-5=0$. Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức $B=x_1^2+x_2^2$ và $C=x_1^2+x_2(x_1+3)-4$.

Biết $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-2x-5=0$. Tính giá trị của biểu $A=x_1+x_2+2x_1x_2$.

Cho phương trình $x^2-3 x+1=0$.

a) Tính giá trị của $\Delta$, từ đó suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $P=\dfrac{2}{x_2-1}+\dfrac{x_2}{x_1-1}$.

Cho phương trình $x^{2}-3 x+1=0$ có hai nghiệm dương $x_{1}, x_{2}$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $P=\dfrac{\left|7 x_{2}-3 x_{1}^{2}\right|}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1} x_{2}}$.

Cho phương trình: $2x^2 - 4x - 1 = 0$ có $2$ nghiệm là $x_1;\, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $T=\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{5}{2} (x_1-x_2)^2+\dfrac{x_2}{x_1}$.

Biết rằng phương trình bậc hai $x^2+x+m=0$ có hai nghiệm là $x_1=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ và $x_2$. Tính giá trị của biểu thức $A=2\,024x_1+2\,025x_2$.

Biết rằng phương trình bậc hai $x^2-5x+a=0$ có một nghiệm là $x=\dfrac{5-\sqrt{41}}{2}$. Tính tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Cho phương trình $x^2-5x+3$. Chứng minh phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt $x_1 ; x_2$ và tính $x_1^2 + x_2^2$.

Cho phương trình $3x^2+5x-1=0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$. Tính giá trị biểu thức $T=6x_1-7x_1x_2+6x_2$.

Cho phương trình $x^2+2x-2=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;\,x_2$ thỏa mãn. Không giải phương trình hãy tính $A=x_1(x_{2}^{2}-2)-x_1-x_2.$

Cho phương trình $x^2 - x - 10 = 0$. Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$. Không giải phương trình, tính $x_1^3+x_2^{3}$.

Cho phương trình $x^2-7x+12=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;\,x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $M=(1-2\,025x_1)x_1-x_2(2\,025x_2-x_1-1).$

Cho phương trình $x^2-4\sqrt{3}x+8=0$ có hai nghiệm $x_1;\,x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức $Q=x_1^3+x_2^3$.

Biết phương trình $x^2+ax+5=0$ có một nghiệm là $x=4-\sqrt{11}$. Tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Cho phương trình $3x^2-11x-15=0$ có hai nghiệm là $x_1, \, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A=\dfrac{3x_1}{x_2}+\dfrac{3x_2}{x_1}$.