Cho đường tròn $(O, R)$ có đường kính $AB$. Kẻ đường kính $CD$ vuông góc với $AB$. Lấy điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$, gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $CD$. Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $D$ cắt đường thẳng $BM$ tại $N$.

Cho đường tròn tâm $(O)$ và dây $BC$ cố định không đi qua $O$. Trên cung lớn $BC$ lấy điểm $A$ sao cho $AB\lt AC$. Kẻ đường kính $AK$, $E$ là hình chiếu của $C$ trên $AK$ và $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh bốn điểm $C,\,E,\,M,\,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ $AD\bot BC$ tại $D$. Chứng minh $AD.AK=AB.AC$ và $\Delta MDE$ cân.

c) Gọi $F$ là hình chiếu của $B$ trên $AK$. Chứng minh khi $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ thì tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta DEF$ là một điểm cố định.

Cho đường tròn $(O )$ đường kính $AB=2R$. Đường thẳng $d$ vuông góc với bán kính $OB$ tại $H$. Trên nửa đường tròn $(O )$ lấy điểm $M$ thay đổi ($M\ne A,\,M\ne \,B,\,M$ không nằm trên $d$. Tia $AM$ cắt đường thẳng $d$ tại $C$. Tia $BM$ cắt đường thẳng $d$ tại $D$. Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn cắt đường thẳng $d$ ở $K$.

a) Chứng minh bốn điểm $M,\,D,\,C,\,E$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E$. Chứng minh $B,\,E,\,C$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $KE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

d) Chứng minh $ME$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi trên đường tròn $(O)$.

Cho $(O)$ đường kính $AB$. Kẻ đường kính $CD$ vuông góc với $AB$. Lấy $M$ thuộc cung nhỏ $BC$, $AM$ cắt $CD$ tại $E$. Qua $D$ kẻ tiếp tuyến với $(O)$ cắt đường thẳng $BM$ tại $N$. Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $DN$.

a) Chứng minh các điểm $M,\,N,\,D,\,E$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $EN$ // $CB$.

c) Chứng minh $AM.BN=2R^2$ và tìm vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ để diện tích tam giác $BNC$ đạt giá trị lớn nhất.

Cho đường tròn $(O)$, bán kính $R$ $(R>0)$ và dây cung $BC=R\sqrt{3}$. Lấy một điểm $A$ bất kì trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Các đường cao $AD,\,BE$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $DHEC$ nội tiếp.

b) Kẻ đường kính $AM$ của đường tròn $(O)$ và $OI$ vuông góc với $BC$ tại $I$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của $HM$.

c) Khi $DH.DA$ lớn nhất, hãy tính diện tích tam giác $ABC$ theo $R$.

Bác An muốn dựng khung cổng hình chữ nhật $ABCD$, bên ngoài cổng được bao bởi một khung sắt dạng nửa đường tròn tâm $O$ có bán kính $5$ m (Hình vẽ). Tính các kích thước của khung cổng để diện tích $ABCD$ lớn nhất.

Cho đường tròn $(O; R)$ có đường kính $AB$ cố định. Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $C$ sao cho $AC = R$. Qua $C$ kẻ đường thẳng d vuông góc với $CA$. Lấy điểm $M$ bất kỳ trên đường tròn $(O)$ không trùng với $A$, $B$. Tia $BM$ cắt đường thẳng $d$ tại $P$. Tia $CM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $N$, tia $PA$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $Q$.

a) Chứng minh tứ giác $ACPM$ là tứ giác nội tiếp.

b) Tính $BM.BP$ theo $R$.

c) Chứng minh trọng tâm $G$ của tam giác $CMB$ luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $(O)$.

Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $BC$. Gọi $A$ là một điểm cố định trên nửa đường tròn. $D$ là một điểm bất kì trên cung $AC$. Hai đoạn $BD$ và $AC$ cắt nhau tại $M$. Kẻ $MK$ vuông góc với $BC$ tại $K$.

a) Chứng minh tứ giác $CDMK$ nội tiếp.

b) Đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $BC$ cắt $BD$ tại $E$. Chứng minh $\Delta AEM \backsim \Delta DCK$.

c) Chứng minh tỉ số $\dfrac{BD.EM}{AM}$ có giá trị không đổi khi $D$ di chuyển trên cung $AC$.

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$, trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $A$. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AM$ đến đường tròn $(O)$ ($M$ là tiếp điểm). Trên cung nhỏ $MC$ lấy điểm $E$ bất kỳ, đường thẳng $AE$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $F \,(F$ không trùng $E$). Gọi $I$ là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $O$ đến $EF$.

a) Chứng minh tứ giác $AMIO$ nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $BC$. Chứng minh: $\widehat{OFH}=\widehat{OAF}$.

c) Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta OFE$. Chứng minh rằng khi điểm $E$ thay đổi trên cung nhỏ $MC$ thì điểm $G$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

Cho đường tròn $(O; R)$, một đường thẳng $d$ cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến $MC$, $MD$ tới đường tròn ($C, \,D$ là tiếp điểm).

a) Chứng minh bốn điểm $M, \,C, \,O,\, D$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $OM \perp CD$. Đoạn thẳng $OM$ cắt đường tròn tại $I$ , chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MCD$ .

c) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $OM$ cắt các tia $MC$, $MD$ theo thứ tự tại $P$ và $Q$ . Tìm vị trí của điểm $M$ trên đường thẳng $d$ sao cho diện tích tam giác $MPQ$ nhỏ nhất.